2018 年湖南预赛 · 第 12 题

解答

相似缩放后取 $A=(-1,0),B=(1,0),C=(c,d),D=(e,f)$，其中凸性使d、f>0，且 $c^2+d^2=e^2+f^2=k$。设P=(u,v)、Q=(u,0)。由两垂线条件，

消去v，

分母非零，因为两垂线有题设唯一交点。利用两个半径平方相等，化简得到

例如交叉相乘的差为 $d^2(e^2+f^2-k)=0$。因而

向量QC/d与QD/f分别为(τ,1)、(−τ,1)，关于过Q的竖直线PQ对称。因此