一试训练题

解答

若 $y=0$，约束化为 $x^2-x+4/13=0$，其判别式为 $-3/13<0$，矛盾。因此可以令 $t=x/y$。代入约束得

此方程有实根当且仅当

即 $1/3\le t\le 3$。反过来，对这一闭区间中的每个 $t$，二次方程的根和、根积都为正，故存在正根 $y$，令 $x=ty$ 即得到原约束的一组实数解。因此比例范围没有额外遗漏。 目标变为

分母恒正，且

上下界分别在合法比例 $t=2$ 和 $t=1/3$ 取得。$F$ 在该比例区间连续，故所求值域为 $\boxed{[23/16,3]}$。