2025 年广州预赛

解答

题设三个量不能有一个为 $0$，否则等比关系会迫使三个量全为 $0$，这在三角形中不可能。它们又同号，而三角形至多有一个钝角，所以三角形必为锐角。

由公比为 $2$，除以 $abc>0$ 得

利用正弦定理 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$，可得

设 $t=\cot C>0$，则 $\cot A=2t$，$\cot B=4t$。由于 $A+B=\pi -C$，

代入得

从而 $14t^2=1$。因此