2014 年河北预赛 · 第 11 题

解答

（1）设项数为 $L\ge 3$、首项为正整数 $a$、公差为正整数 $d$。总和三十给

又最小可能和为 $L(L+1)/2$，所以 $L\le 7$，结合整除得到 $L\in \{3,4,5,6\}$。逐一求正整数解，全部数列为：三项型 $(10-d,10,10+d)$，其中 $d=1,2,\dots ,9$；四项型 $(6,7,8,9)$、$(3,6,9,12)$；五项型 $(4,5,6,7,8)$、$(2,4,6,8,10)$。六项型要求 $2a+5d=10$，无正整数解。因此一共 $\boxed{13}$ 个。 （2）对偶数 $m>8$，若 $m=4k+2$，则 $k\ge 2$，取四项 $(k-1,k,k+1,k+2)$；若 $m=4k$ 且 $k\ge 4$，取四项 $(k-3,k-1,k+1,k+3)$；余下的 $m=12$ 取 $(3,4,5)$。这些数列都满足要求。若 $m$ 为奇合数，取其最小素因子 $p$，写 $m=pq$，则 $p\ge 3$ 为奇数且 $q\ge p$。取首项 $q-(p-1)/2$、公差一、长度 $p$ 的数列，中心项为 $q$，故和为 $pq=m$。其首项正、各项整数、项数至少三，构造完成。