2023 年吉林预赛

思路

单位圆在A处的切线方程为A·X=1；两切点的弦因此为x=1/p。圆上角参数的半和半差能把弦写成 $x\cos u+y\sin u=\cos v$。

想法从哪来：两条切线给定，先把它们交点放在单位圆的一条轴上，切点弦的中点位置便直接确定。题目中的乘积距离不是常见割线幂，因为P并不在BD上；可以将它平方，改用B、D在圆上的角参数。若独立展开两个角会很长，半和、半差能同时写出乘积距离与弦BD的方程。代数因式分解后会出现两个线性几何分支：一个是弦过切线交点，一个是弦过切点弦中点。题设额外的排除条件正为消掉前者准备，这也解释了为何它不可缺。平方前后长度均正，不会引入负号分支。

把圆化为单位圆，并令两切线交点落在横轴上；条件会分解成“$BD$ 过 $P$”与 “$BD$ 过 $AC$ 中点”两个因子，题设正好排除前者。