2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） · 第 7 题

解答

共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$ 种等可能的三元素集合。 若三个数均为奇数，则从 $\{1,3,5,7,9\}$ 中选三个，唯一须排除的是同时含 $3,9$ 的情形，故有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)-3=7$ 种。

若恰有一个偶数，按该偶数分类：

1. •

   偶数为 $2,4,8$ 之一时，其余两个从五个奇数中选，只排除 $\{3,9\}$，共 $3((\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})-1)=27$ 种；

2. •

   偶数为 $6$ 时，其余两个只能从 $\{1,5,7\}$ 中选，有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ 种；

3. •

   偶数为 $10$ 时，其余两个从 $\{1,3,7,9\}$ 中选，排除 $\{3,9\}$，有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)-1=5$ 种。

不可能有两个偶数，故有利集合共 $7+27+3+5=42$ 个，所求概率为 $42/120=\boxed{7/20}$。