2014 年河南预赛 · 第 9 题

解答

设 $m^2=2^8+2^{11}+2^n=48^2+2^n$，则 $m>48$，且 $(m-48)(m+48)=2^n$。于是存在整数 $0\le u<v$，使 $m-48=2^u,m+48=2^v$，所以 $2^u(2^{v-u}-1)=96=2^5\cdot 3$。括号内为奇数，故 $u=5,2^{v-u}-1=3$，得 $v=7$，$\boxed{n=u+v=12}$。