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集合与简易逻辑

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

集合与简易逻辑在联赛一试和各省预赛里几乎每年都有，通常是第一道填空或选择题：给出用描述法、新运算或参数定义的集合，问交集、并集的元素个数、元素之和，或反求参数。题目本身不长，失分多在细节——把“参数组数”当成“元素个数”、忘记元素互异、端点开闭弄错、求出参数后不回代。少数压轴性质的预赛题会把集合当成组合计数的载体，考容斥和“逐元素看隶属关系”的思想。

1. 先修与破题直觉 先会把“属于”翻译成条件，再做交、并、补运算。设 $A = {- 1, 0, 2}$ 、 $B = {0, 1, 2}$ ，先逐个问元素是否同时属于两集，得到 $A \cap B = {0, 2}$ ；至少属于一个集合则得到 $A \cup B = {- 1, 0, 1, 2}$ 。破题先看题目要数的是元素、表示方式还是参数，三者不能混数。

2. 核心条件辨析 集合中的元素互异，描述同一元素的不同参数不会增加元素个数。例如 ${x^{2} ∣ x \in {- 1, 0, 1}} = {0, 1}$ ，三种输入只有两个输出。求补集还要先固定全集：若 $U = {0, 1, 2, 3}$ 、 $C = {0, 2}$ ，则 $U ∖ C = {1, 3}$ ；不能离开 $U$ 说“所有不在 $C$ 中的数”。

3. 典型误区对比 把 ${a, a^{2}}$ 一律看成二元素集是错的：它只有一个元素当且仅当 $a = a^{2}$ ，解得 $a = 0$ 或 $a = 1$ ，两值回代都成立。区间交集也别凭图形宽度删掉单点： $(0, 2] \cap [2, 3) = {2}$ ，因为两边都包含端点 $2$ 。先核相等与端点，再计数。

4. 方法迁移带练 把成员条件迁移到计数：在整数 $1$ 到 $60$ 中，能被 $4$ 或 $6$ 整除的数有 $15 + 10 - 5 = 20$ 个；重叠部分是能被最小公倍数 $12$ 整除的 $5$ 个数。两者都不能整除的有 $60 - 20 = 40$ 个。对照“成员条件翻译法”与“容斥原理”，先说清交集条件，再代入个数。

5. 分级真题实战 先用下方概念自测核对元素互异、集合相等和端点；随后从本页方法卡的例题链接选题。基础轮用“列举去重法”和“数轴端点分析”把对象列清；进阶轮用“集合相等：定位特殊元素 + 回代”追参数；综合轮用“逐元素决定法”组织分类。以题页标示的实际难度选择，不把读完导学当作已做对真题。每题提交前写一句：我数的对象是什么，是否去重，候选参数是否全部回代。

先修（培玉高中数学）：集合的概念集合间的基本关系集合的基本运算充分条件与必要条件全称量词与存在量词

知识要点

描述法集合：先弄清“元素是谁”

竖线左边是元素的样子，右边是它要满足的条件。 ${2 x ∣ x \in A}$ 是把 $A$ 的每个元素乘 $2$ ； ${x ∣ 2 x \in A}$ 却是“乘 $2$ 以后落在 $A$ 里”的数，它不一定是整数。

例： $A = {1, 2, \dots, 10}$ ，则 ${2 x ∣ x \in A} = {2, 4, \dots, 20}$ ， ${x ∣ 2 x \in A} = {\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \dots, 5}$ ，两者的交集是 ${2, 4}$ ，只有 $2$ 个元素。

参数组数不等于元素个数

集合里相同的元素只算一次。由参数生成的集合，元素个数等于不同取值的个数，往往少于参数组数。

例： ${x^{2} ∣ x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}} = {0, 1, 4}$ ， $5$ 个参数只给出 $3$ 个元素； ${a + b ∣ a, b \in {1, 2, 3}} = {2, 3, 4, 5, 6}$ ， $9$ 组 $(a, b)$ 只给出 $5$ 个元素。所以求元素个数或元素之和前，必须先去重，或证明不同参数给出不同的值。

逐元素决定：子集、映射与有序集合对的计数

数子集时不要一个个列，而是让每个元素独立“表态”：在或不在。 $n$ 元集合有 $2^{n}$ 个子集， $2^{n} - 1$ 个真子集。同样的思想可以推广：

•
满足 ${1, 2} \subseteq X \subseteq {1, 2, 3, 4, 5}$ 的 $X$ ：只有 $3, 4, 5$ 可自由选择，共 $2^{3} = 8$ 个；
•
从 ${1, 2, 3}$ 到 ${1, 2}$ 的映射：每个自变量有 $2$ 种去处，共 $2^{3} = 8$ 个；
•
满足 $A \cup B = {1, 2, \dots, n}$ 的有序对 $(A, B)$ ：每个元素“只在 $A$ 、只在 $B$ 、两者都在”三选一，共 $3^{n}$ 个， $n = 2$ 时为 $9$ 。

容斥原理与交并的基数估计

两个集合： $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ ；三个集合：

∣ A \cup B \cup C ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣ - ∣ A \cap B ∣ - ∣ B \cap C ∣ - ∣ C \cap A ∣ + ∣ A \cap B \cap C ∣.

例： $1$ 到 $100$ 中被 $2$ 或 $3$ 整除的数有 $50 + 33 - 16 = 67$ 个；被 $2, 3, 5$ 中至少一个整除的有 $50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = 74$ 个。

反过来也能做估计：若 $A, B$ 都是 $10$ 元全集的子集， $∣ A ∣ = 6$ ， $∣ B ∣ = 8$ ，则 $∣ A \cap B ∣ \geq 6 + 8 - 10 = 4$ 。

集合相等：互异性、特殊元素与对称量

两个有限集合相等，意味着元素一一对上，但对应顺序未知。常用三个抓手：

•
特殊元素： $0$ 、唯一的正数、最大数等，先确定它对应谁；
•
定义域：分母不为 $0$ 、根号下非负，常能先排除一大片；
•
对称量：两边元素都互异时，元素之和、之积相等。注意 ${1, 1, 2}$ 作为集合就是 ${1, 2}$ ，它的元素和是 $3$ ，不是 $4$ 。

例： ${a, a + 2} = {b, 5}$ 。 $5$ 只能是 $a$ 或 $a + 2$ ： $a = 5$ 时 $b = 7$ ； $a = 3$ 时 $b = 3$ 。两组都要代回检验，结果都成立。

区间型集合与参数：端点和空集

含参数的不等式解集多是区间，交、并、包含都可以在数轴上看端点。要特别注意三件事：开闭决定等号能否取到；参数可能使集合变成空集；限制为整数时变成“数点”。

例： $[0, 2]$ 与 $(a, a + 1)$ 相交当且仅当 $a < 2$ 且 $a + 1 > 0$ ，即 $- 1 < a < 2$ ，两端都取不到。又如 ${x ∣ a x = 1} \subseteq {1, 2}$ ： $a = 0$ 时左边是空集，也满足，所以 $a \in {0, 1, \frac{1}{2}}$ ，共 $3$ 个值。再如 ${x \in Z ∣ (x - 3)^{2} < c}$ 恰有 $3$ 个元素，当且仅当 $1 < c \leq 4$ 。

充分、必要条件就是集合包含

设 $P = {x ∣ p (x)}$ ， $Q = {x ∣ q (x)}$ 。“ $p$ 是 $q$ 的充分条件”即 $p \Rightarrow q$ ，等价于 $P \subseteq Q$ ；“必要条件”则是 $Q \subseteq P$ 。小范围推得出大范围，反之不行。

例：“ $x > 2$ ”是“ $x > 1$ ”的充分不必要条件，因为 $(2, + \infty) ⊊ (1, + \infty)$ ；“ $x^{2} = 1$ ”是“ $x = 1$ ”的必要不充分条件，因为 ${1} ⊊ {- 1, 1}$ 。判断“不充分”时，举一个反例最快。

量词命题的否定

否定要同时做两件事：换量词，否定结论。“对任意 $x \in M$ ， $p (x)$ ”的否定是“存在 $x \in M$ ，使 $p (x)$ 不成立”，反之亦然。

例：“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \leq 0$ ”。注意“大于 $0$ ”的否定是“小于或等于 $0$ ”，不是“小于 $0$ ”；“都是”的否定是“不都是”，“至多一个”的否定是“至少两个”。

量词也能翻译成集合运算：“存在 $b \in B$ 使 $x \in C_{b}$ ”就是 $x \in ⋃_{b \in B} C_{b}$ ，“对任意 $b$ ”则对应交集。

方法卡

描述法、像集给出的集合：把“属于”逐条翻译成条件

集合写得再绕，判断一个元素在不在里面，只要把定义读成等式或不等式。逐条翻译，合并起来，最后再把结果代回去核对。

完整讲解 · 例题 · 可练 41 题

一、是什么

先看竖线前面是谁

描述法 ${元素 ∣ 条件}$ 里，竖线前面写的才是集合里的东西。同一个式子 $y = x^{2}$ ： ${x ∣ y = x^{2}}$ 收集输入 $x$ ，是全体实数； ${y ∣ y = x^{2}}$ 收集输出 $y$ ，也就是所有 $y \geq 0$ ，写作 $[0, + \infty)$ ； ${(x, y) ∣ y = x^{2}}$ 收集点，是一条抛物线。

像集和逆像：两种写法方向相反

设 $A = {1, 2, 3}$ 。 ${2 x ∣ x \in A}$ 把 $A$ 里的数都乘 $2$ ，得 ${2, 4, 6}$ ，这种由输出组成的集合叫像集。 ${x ∣ 2 x \in A}$ 反过来，要找乘 $2$ 后落进 $A$ 的数，得 ${\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}}$ ，这种集合叫逆像。没有写 $x$ 是整数，就不能默认它是整数。

每个条件都要过关

$y \in B \cap C$ 的意思是 $y \in B$ 和 $y \in C$ 同时成立，每一条都要翻译。“不属于”也是一条条件。元素不多时，逐个代入检查最稳。

已知元素反求参数：代进去，再写出集合

$2 \in {x ∣ x^{2} + a x - 6 = 0}$ 表示 $x = 2$ 满足方程，代入得 $4 + 2 a - 6 = 0$ ，所以 $a = 1$ 。求出参数后还要写出整个集合看一看，相同的值要合并： ${1, 1}$ 就是 ${1}$ 。

先看一道例题

例 1：两个条件逐个检查

设 $A = {1, 2, 3, 4, 6}$ ， $B = {x \in A \frac{12}{x} \in A 且 x + 1 \in / A}$ 。求 $B$ 。

怎么看出来：

$A$ 很小，可以逐个检查。每个 $x$ 都要通过 2 关，其中一关是“不属于”。

解：

$x = 1$ 时 $\frac{12}{x} = 12 \in / A$ ，去掉。 $x = 2$ 时 $\frac{12}{x} = 6 \in A$ ，但 $x + 1 = 3 \in A$ ，去掉。 $x = 3$ 时 $\frac{12}{x} = 4 \in A$ ，但 $x + 1 = 4 \in A$ ，去掉。 $x = 4$ 时 $\frac{12}{x} = 3 \in A$ ， $x + 1 = 5 \in / A$ ，保留。 $x = 6$ 时 $\frac{12}{x} = 2 \in A$ ， $x + 1 = 7 \in / A$ ，保留。

答案：

$B = {4, 6}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
集合写成 ${f (x) ∣ x \in A}$	元素是输出。把 $A$ 里的值代入，或设 $y = f (x)$ ， $x \in A$
集合写成 ${x ∣ f (x) \in A}$	元素是输入。解出 $f (x)$ 落进 $A$ 的所有 $x$ ，不默认它是整数
元素不多，要同时满足几个条件	逐个元素代入，每个条件都查
已知某个数属于含参数的集合	代入求参数，再写出整个集合，相同的值合并
同时出现补集和几个交集	画 4 块区域，把元素逐个放进去（见进阶“补集和 4 块区域”）
元素写成 $(x, y)$ ，问交集为空或有几个	解方程组，留心分式挖掉的点（见进阶“元素是点”）
含参数的方程的根组成集合，要求它包含于另一集合	先看系数为 0 的情况（见进阶“含参数的方程”）

三、怎么用

读竖线前面：确认集合收集的是输入、输出还是点。例如 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {x \in A ∣ x + 1 \in A 且 2 x \in / A}$ 收集的是 $A$ 里的数 $x$ 。
把每个条件写出来，“不属于”也要写。这里有 2 关： $x + 1$ 在 $A$ 里； $2 x$ 不在 $A$ 里。
逐个代入，或合并成一个范围。 $x = 1$ ： $2 x = 2 \in A$ ，去掉。 $x = 2$ ： $x + 1 = 3 \in A$ ， $2 x = 4 \in / A$ ，保留。 $x = 3$ ： $x + 1 = 4 \in / A$ ，去掉。
代回原集合核对，相同的值要合并。 $B = {2}$ ， $2$ 确实通过了 2 关。
最后再计数或求和。 $B$ 有 $1$ 个元素。

四、再做一道

例 2：已知元素反求参数

已知 $1 \in {a + 2, a^{2}}$ ，求实数 $a$ 。

怎么看出来：

$1$ 等于其中某个元素，所以分 2 种情况。题目没有要求集合有 2 个元素，相同的值合并。

解：

若 $a + 2 = 1$ ，则 $a = - 1$ ，这时 2 个式子都等于 $1$ ，集合就是 ${1}$ ，含 $1$ ，成立。若 $a^{2} = 1$ ，则 $a = 1$ 或 $a = - 1$ ； $a = 1$ 时集合为 ${3, 1}$ ，含 $1$ ，成立。

答案：

$a = - 1$ 或 $a = 1$ 。

五、容易错在哪

${x ∣ 2 x \in A}$ 没有写整数条件， $x$ 可以是分数，不能只数整数。
只检查了一个条件就数数，会多算。每个条件都要代入。
范围的端点要单独代入，看它能不能取到，不要凭感觉决定等号。
参数使 2 个元素相等时，相同的值合并成 1 个，集合依然成立。只有题目明确要求元素个数时，才能排除这个参数。
进阶题里：分式写成的直线少一个点，只考虑平行会漏掉参数；含参数的方程只讨论系数不为 0，会漏掉根集为空集或全部实数的参数。

进阶：区间上的像集与逆像

输出集合和输入集合求交

$A = {y ∣ y = x^{2} - 2 x}$ 收集输出，配方得 $y = (x - 1)^{2} - 1 \geq - 1$ ，所以 $A = [- 1, + \infty)$ 。 $B = {x ∣ y = 4 - x^{2}}$ 收集输入，要求 $4 - x^{2} \geq 0$ ，所以 $B = [- 2, 2]$ 。于是 $A \cap B = [- 1, 2]$ 。再如 $y \in {3 k ∣ 1 \leq k \leq 20, k 是整数}$ 且 $2 y \leq 30$ ：把 $y = 3 k$ 代入第 2 个条件得 $6 k \leq 30$ ，所以 $1 \leq k \leq 5$ ，一共 $5$ 个值。

例 3：像集与逆像都是区间

设 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x \leq 0}$ ， $B = {2 x + 1 ∣ x \in A}$ ， $C = {x ∣ 2 x - 1 \in A}$ 。求 $B \cap C$ 。

怎么看出来：

$B$ 把 $A$ 的数代进去算输出， $C$ 要求输出落进 $A$ ，2 个方向相反。这里的数都是实数，不能列举，要化成区间。

解：

$x (x - 3) \leq 0$ ，两因子异号或有一个为零，所以 $A = [0, 3]$ 。 $B$ ： $0 \leq x \leq 3$ 时 $1 \leq 2 x + 1 \leq 7$ ；反过来，任给 $y \in [1, 7]$ ，取 $x = \frac{y - 1}{2} \in [0, 3]$ ，就有 $2 x + 1 = y$ ，所以 $B = [1, 7]$ 。 $C$ ： $0 \leq 2 x - 1 \leq 3$ ，解得 $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ ，所以 $C = [\frac{1}{2}, 2]$ 。取交集得 $[1, 2]$ 。检查端点： $1 \in B$ （ $x = 0$ ），且 $2 \times 1 - 1 = 1 \in A$ ； $2 \in B$ （ $x = \frac{1}{2}$ ），且 $2 \times 2 - 1 = 3 \in A$ 。

答案：

$B \cap C = [1, 2]$ 。

进阶：补集和 4 块区域

“不属于”也能翻译：补集和 4 块区域

$x \in ∁_{U} A$ 的意思是 $x \in U$ 且 $x \in / A$ ，这里 $U$ 是全集，也就是讨论范围内的全部元素。全集里的元素按 $A, B$ 分成 4 块：只在 $A$ 、只在 $B$ 、都在、都不在。例如 $U = {1, 2, \dots, 8}$ ，已知 $A \cap B = {3}$ ， $∁_{U} A \cap ∁_{U} B = {1, 8}$ ， $∁_{U} A \cap B = {2, 5}$ ，已经用掉 $1, 2, 3, 5, 8$ ，剩下的 $4, 6, 7$ 只能在“只在 $A$ ”这一块。还有一个常用结论： $∁_{U} A \cup ∁_{U} B = ∁_{U} (A \cap B)$ ，因为“至少不在其中一个”正是“不同时在两个里”。

进阶：元素是点

元素是点：交集就是方程组的解

两个点集的交集，就是同时满足两个方程的点；交集是空集，就是方程组无解。要留心分式写法挖掉的点： $\frac{y - 1}{x - 2} = 3$ 要求 $x \neq = 2$ ，它是直线 $y = 3 x - 5$ 去掉点 $(2, 1)$ 。所以另一条直线与它没有公共点，有 2 种可能：两条完整的直线平行且不重合，或者它们唯一的交点恰好是被挖掉的点。

例 4：抛物线挖掉一个点

设 $M = {(x, y) \frac{y - x ^{2}}{x - 1} = 0}$ ， $N = {(x, y) ∣ y = x + k}$ 。若 $M \cap N$ 恰有 $1$ 个元素，求实数 $k$ 。

怎么看出来：

元素是点，公共点就是方程组的解。 $M$ 是分式写法，要先看挖掉了哪个点。挖掉的点可能让 2 个交点只剩 1 个。

解：

分式等于 $0$ 要求 $y = x^{2}$ 且 $x \neq = 1$ ，所以 $M$ 是抛物线 $y = x^{2}$ 去掉点 $(1, 1)$ 。联立得 $x^{2} - x - k = 0$ 。判断实根个数用判别式：方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）的判别式是 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ， $Δ > 0$ 时有 2 个不同实根， $Δ = 0$ 时有 1 个， $Δ < 0$ 时没有。这里 $Δ = 1 + 4 k$ 。情况 1： $Δ = 0$ ， $k = - \frac{1}{4}$ ，唯一根 $x = \frac{1}{2} \neq = 1$ ，恰有 $1$ 个公共点。情况 2： $Δ > 0$ 且其中一个根是被挖掉的 $x = 1$ 。代入得 $1 - 1 - k = 0$ ， $k = 0$ ，这时根是 $0$ 和 $1$ ，只剩点 $(0, 0)$ ，恰有 $1$ 个公共点。

答案：

$k = - \frac{1}{4}$ 或 $k = 0$ 。

进阶：含参数的方程

含参数的方程：先看系数是否为 0

方程的系数含参数时，根组成的集合可能是空集，也可能是全部实数。 $(m - 1) x = m - 1$ 中， $m = 1$ 时变成 $0 = 0$ ，这种恒等式对每个 $x$ 都成立，根集是全体实数。 $(m - 1) x = 2$ 中， $m = 1$ 时变成 $0 = 2$ ，这种矛盾等式没有解，根集是空集。空集是任何集合的子集，所以它符合包含关系。例如 ${x ∣ (m - 1) x = 2} \subseteq {1, 2}$ ： $m = 1$ 时根集为空，符合； $m \neq = 1$ 时唯一根是 $x = \frac{2}{m - 1}$ ，令它等于 $1$ 得 $m = 3$ ，等于 $2$ 得 $m = 2$ 。所以 $m = 1, 2, 3$ ，只讨论非零系数就会漏掉 $m = 1$ 。

真题

按这个方法练 · 41 题

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由和、积生成的小集合：列表去重，再数元素

元素不多时老老实实列表，但要先把原料算准、把重复的先合并。集合里相同的数只算 1 个，所以个数不是简单相乘。

完整讲解 · 例题 · 可练 31 题

一、是什么

为什么不能直接相乘

${a + b ∣ a \in A, b \in B}$ 表示从 $A$ 、 $B$ 各取一个数相加，得到的所有结果。 $A = {1, 2}$ ， $B = {3, 4}$ 时，有 $2 \times 2 = 4$ 种取法，结果是 $4, 5, 5, 6$ ，其中 $5$ 重复，集合是 ${4, 5, 6}$ ，只有 $3$ 个元素。取法的数量只是元素个数的上限。

先把原料集合解干净

原料常常藏在不等式里。分式不等式 $\frac{x + 1}{x - 4} < 0$ 表示分子分母异号： $x + 1 > 0$ 且 $x - 4 < 0$ 得 $- 1 < x < 4$ ； $x + 1 < 0$ 且 $x - 4 > 0$ 无解。整数解是 $0, 1, 2, 3$ 。这里 $x = - 1$ 使分式为 $0$ ，不满足小于 $0$ ； $x = 4$ 使分母为 $0$ ，没有意义。一个端点算错，后面全错。

结果只依赖某个量时，先合并这个量

式子里只有 $y^{2}$ 时，真正有用的是 $y^{2}$ 的取值。 $y \in {- 1, 0, 1, 2}$ 时， $y^{2}$ 只有 $0, 1, 4$ 这 $3$ 个值， $y$ 的 $4$ 种取法变成 $3$ 种，列表更短。

按一个变量分组，再取并集

固定一个变量，每组结果很容易看出。 $A = {1, 3, 5}$ ， $B = {2, 4, 6}$ 时，求 $a + b$ ： $a = 1, 3, 5$ 分别得 ${3, 5, 7}$ 、 ${5, 7, 9}$ 、 ${7, 9, 11}$ ，并集是 ${3, 5, 7, 9, 11}$ ，共 $5$ 个。

先看一道例题

例 1：列表去重

设 $A = {1, 2, 4}$ ， $B = {2, 4, 8}$ ， $C = {ab ∣ a \in A, b \in B}$ 。求 $C$ 的元素个数和所有元素之和。

怎么看出来：

$A, B$ 各只有 $3$ 个元素，可以列表。都是 $2$ 的幂，乘积容易重复，要去重。

解：

$a = 1$ 时得 $2, 4, 8$ ； $a = 2$ 时得 $4, 8, 16$ ； $a = 4$ 时得 $8, 16, 32$ 。取并集得 $C = {2, 4, 8, 16, 32}$ ，共 $5$ 个元素。元素和为 $2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62$ 。

答案：

$5$ 个，和为 $62$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
${a + b ∣ a \in A, b \in B}$ ，或 ${x y ∣ \dots}$ ，且 $A, B$ 很小	列表，按一个变量分组，再去重
自定义运算 $A \otimes B$	按定义列表，定义里每个字母从哪个集合取要看清
式子只含 $y^{2}$ 或 $∣ y ∣$	先求这个量的不同取值，缩短列表
基础集合由分式不等式给出，且限定整数	先解不等式，再逐个核对端点
式子含周期函数，如 $cos \frac{nπ}{2}$	只算一个周期的取值（见进阶“周期函数的取值”）
问子集、真子集、非空真子集的个数	先数出不同元素的个数 $n$ ，再用 $2^{n}$ 系列公式（见进阶“子集个数”）
含参数的小集合，问交集有几个元素	先找让元素相等的参数值，逐个代回（见进阶“含参数的集合”）

三、怎么用

写出基础集合，逐个核对端点和定义域。例如求 ${x^{2} + y ∣ x \in A, y \in B}$ ，其中 $A = {x \in Z ∣ x^{2} \leq 1}$ ， $B = {1, 2}$ ：先写出 $A = {- 1, 0, 1}$ 。
看式子真正依赖什么量，把它的取值去重。这里只含 $x^{2}$ ，它只取 $0, 1$ ， $3$ 种取法变成 $2$ 种。
按一个变量分组列结果，再取并集。 $x^{2} = 0$ 时得 $1, 2$ ； $x^{2} = 1$ 时得 $2, 3$ ；并集是 ${1, 2, 3}$ 。
数不同的元素，求和也只加不同的元素。共 $3$ 个元素，和为 $1 + 2 + 3 = 6$ 。
题目问子集就用公式，含参数就把特殊值逐个代回。这个集合有 $3$ 个元素，所以有 $2^{3} = 8$ 个子集。

四、再做一道

例 2：只依赖绝对值，先合并

设 $A = {x \in Z ∣ x^{2} \leq 4}$ ， $B = {y \in Z ∣ y^{2} < 10}$ ， $C = {∣ x ∣ + ∣ y ∣ ∣ x \in A, y \in B}$ 。求 $C$ 的元素个数和所有元素之和。

怎么看出来：

$A, B$ 有正有负，但式子只看绝对值，所以先求 $∣ x ∣$ 、 $∣ y ∣$ 的取值。

解：

$A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $∣ x ∣$ 只取 $0, 1, 2$ 。 $B = {- 3, - 2, \dots, 3}$ ， $∣ y ∣$ 只取 $0, 1, 2, 3$ 。按 $∣ x ∣$ 分组： $∣ x ∣ = 0$ 时得 $0, 1, 2, 3$ ； $∣ x ∣ = 1$ 时得 $1, 2, 3, 4$ ； $∣ x ∣ = 2$ 时得 $2, 3, 4, 5$ 。取并集得 $C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ，元素和为 $15$ 。这里取法有 $5 \times 7 = 35$ 种，元素却只有 $6$ 个。

答案：

$6$ 个，和为 $15$ 。

五、容易错在哪

把 $∣ A ∣ \times ∣ B ∣$ 当作元素个数。它只是取法的数量，相同的结果只算 $1$ 个。
求元素和时把重复的值加了多次。要先去重，再求和。
解基础集合时看错开闭端点，或者忘了分母不能为零，会多一个或少一个元素。
真子集和非空子集都是 $2^{n} - 1$ 个，非空真子集在 $n \geq 1$ 时是 $2^{n} - 2$ 个，要看清题目问哪个。
题目没写 $x \in Z$ 时，不要只找整数元素。

进阶：指数不等式给出的原料 · 先修：已学指数函数

指数不等式给出的原料

$\frac{1}{9} < 3^{x} \leq 3$ 即 $3^{- 2} < 3^{x} \leq 3^{1}$ 。底数 $3$ 大于 $1$ ， $x$ 越大 $3^{x}$ 越大，所以可以直接比较指数，得 $- 2 < x \leq 1$ ，整数解是 $- 1, 0, 1$ 。

进阶：周期函数的取值 · 先修：已学弧度制与三角函数

周期函数：只算一个周期

$cos \frac{nπ}{2}$ 在 $n = 0, 1, 2, 3$ 时依次是 $1, 0, - 1, 0$ 。 $n$ 增加或减少 $4$ ，角就变化 $2 π$ ，值不变，所以 ${cos \frac{nπ}{2} n \in Z} = {1, 0, - 1}$ 。 $sin \frac{( 2 m + 1 ) π}{2}$ 在 $m = 0, 1$ 时依次是 $1, - 1$ 。 $m$ 增加或减少 $2$ ，角也变化 $2 π$ ，所以 ${sin \frac{( 2 m + 1 ) π}{2} m \in Z} = {1, - 1}$ ，它是前一个集合的子集。

进阶：一列集合按序号变化

一列集合按序号变化

集合随序号变化时也按序号分组。 $A_{k} = {5 + k, 7 + 2 k}$ ， $k = 0, 1, 2, 3, 4$ 依次是 ${5, 7}, {6, 9}, {7, 11}, {8, 13}, {9, 15}$ 。 $7$ 和 $9$ 都出现了 $2$ 次，在并集里各算 $1$ 个，所以并集是 ${5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15}$ ，共 $8$ 个。

进阶：子集个数

子集个数：每个元素选或不选

$n$ 个元素的集合，每个元素都有“选”和“不选” $2$ 种可能，所以共有 $2^{n}$ 个子集。去掉空集或去掉它本身，就得到非空子集或真子集，都是 $2^{n} - 1$ 个；当 $n \geq 1$ 时 2 个都去掉，非空真子集是 $2^{n} - 2$ 个；空集（ $n = 0$ ）没有非空真子集。真子集指不等于原集合的子集。公式只对互不相同的元素成立，所以要先去重。

例 3：先算元素，再用子集公式

设 $M = {x \in Z ∣ x^{2} - 5∣ x ∣ + 4 \leq 0}$ 。求 $M$ 的非空真子集个数。

怎么看出来：

$x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ ，所以把 $∣ x ∣$ 看成一个量，先解出 $∣ x ∣$ 的范围，再写出整数。

解：

不等式即 $(∣ x ∣ - 1) (∣ x ∣ - 4) \leq 0$ ，所以 $1 \leq ∣ x ∣ \leq 4$ 。整数解是 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ ，共 $8$ 个不同的数。非空真子集有 $2^{8} - 2 = 254$ 个。

答案：

$254$ 个。

进阶：元素和固定的子集

按元素个数分类枚举

要找元素和固定的子集时，按子集有几个元素分类，每类里从小到大写，就不会漏。在 ${1, 2, \dots, 9}$ 中和为 $7$ 的子集：1 个元素： ${7}$ ；2 个元素： ${1, 6}, {2, 5}, {3, 4}$ ；3 个元素： ${1, 2, 4}$ ；4 个元素最小和是 $1 + 2 + 3 + 4 = 10 > 7$ ，不可能。共 $5$ 个。

进阶：含参数的集合

含参数的集合：相等情况要分开讨论

$A = {2, m}$ 时，若 $m = 2$ ，则 $A = {2}$ ，只有 1 个元素；只有明确要求 $A$ 有 2 个元素时，才须 $m \neq = 2$ 。参数还可能让两个式子相等，从而改变元素个数。先列出所有“可能相等”的等式，把这些特殊的 $m$ 算出来，再一个一个代回。

例 4：含参数，逐个特殊值代回

设 $A = {2, m}$ ， $m \neq = 2$ ， $B = {ab ∣ a \in A, b \in A}$ 。若 $A \cap B$ 恰有 $1$ 个元素，求 $m$ 的所有值。

怎么看出来：

$B$ 由 $4, 2 m, m^{2}$ 组成。交集里的元素只能是 $2$ 或 $m$ ，所以分别找出 $2 \in B$ 、 $m \in B$ 的条件，得到有限个特殊值。其他 $m$ 交集为空，不符合要求。

解：

$2 \in B$ ： $4 \neq = 2$ ，所以 $2 m = 2$ 或 $m^{2} = 2$ ，即 $m = 1$ 或 $m = \pm 2$ 。 $m \in B$ ： $m = 4$ ，或 $2 m = m$ ，或 $m^{2} = m$ ，即 $m = 4, 0, 1$ 。逐个检查。 $m = 1$ ： $A = {2, 1}$ ， $B = {4, 2, 1}$ ，交集有 $2$ 个元素，舍去。 $m = 2$ ： $A = {2, 2}$ ， $B = {4, 22, 2}$ ，交集为 ${2}$ ，符合。 $m = - 2$ ： $A = {2, - 2}$ ， $B = {4, - 22, 2}$ ，交集为 ${2}$ ，符合。 $m = 4$ ： $A = {2, 4}$ ， $B = {4, 8, 16}$ ，交集为 ${4}$ ，符合。 $m = 0$ ： $A = {2, 0}$ ， $B = {4, 0}$ ，交集为 ${0}$ ，符合。

答案：

$m = 0, 4, 2, - 2$ 。

真题

按这个方法练 · 31 题

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参数很多的生成集合：证明不重复、不留缝，再计数求和

参数太多列不完时，要用道理回答 2 个问题：不同的参数会不会给出同一个数？最小值和最大值之间的数是不是都取得到？回答了这 2 个问题，才能计数和求和。

完整讲解 · 例题 · 可练 18 题

一、是什么

单调：不同的 n 一定给出不同的值

设 $f (n) = n^{2} + 3 n$ ， $n$ 为正整数。作差： $f (n + 1) - f (n) = (n + 1)^{2} + 3 (n + 1) - n^{2} - 3 n = 2 n + 4 > 0$ ，所以 $f (n)$ 越来越大，不同的 $n$ 对应不同的值。这种性质叫单调递增。例如 $n = 1, 2, 3$ 时依次是 $4, 10, 18$ ，集合恰有 $3$ 个元素，元素和就是 $4 + 10 + 18 = 32$ 。

不留缝：一个一个变量加进去

只算最小值和最大值，不能说明中间每个整数都取得到。办法是逐个加入变量。 $a, b \in {1, 2, 3}$ ，看 $a + 2 b$ ： $b = 1, 2, 3$ 时分别得 $3$ 到 $5$ 、 $5$ 到 $7$ 、 $7$ 到 $9$ ，这些段首尾相接，所以 $3$ 到 $9$ 的整数都能取到，共 $7$ 个。如果相邻两段之间有空隙，就要把缺的数找出来。

先看一道例题

例 1：单调说明不重复

求集合 ${n^{2} + n ∣ n = 1, 2, 3, 4, 5}$ 的元素个数和所有元素之和。

怎么看出来：

元素和要等于各项相加，必须先说明没有重复。作差看它是不是越来越大。

解：

设 $f (n) = n^{2} + n$ ， $f (n + 1) - f (n) = (n + 1)^{2} + (n + 1) - n^{2} - n = 2 n + 2 > 0$ ，所以 $5$ 个值互不相同。依次是 $2, 6, 12, 20, 30$ ，相加得 $70$ 。

答案：

$5$ 个，和为 $70$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
参数上千个，或者问第 $k$ 个元素	不能列举，要证明不重复或找到排序规律
$f (n)$ 随 $n$ 单调	看 $f (n + 1) - f (n)$ 的符号，得到不同的 $n$ 给出不同的值
$a + 2 b + 3 c$ 这种带系数的和，问有几个值	逐个加入变量，检查每段是否首尾相接
式子能分解，如 $ab + a + b = (a + 1) (b + 1) - 1$	分解后用质因数说明结果不重复（见进阶“因式分解与质数”）
若干个 $2$ 的幂相加	用二进制说明写法唯一，并由最高位排序（见进阶“二进制排序”）
${y ∣ y = f (x)}$ ， $x$ 是实数	配方或反解方程，并验证边界能取到（见进阶“实数取值范围”）

三、怎么用

先判断能不能列举。例如 ${a + 2 b ∣ a, b \in {1, 2, 3}}$ ， $a, b$ 共 $9$ 种搭配，先别急着说有 $9$ 个元素。
看不同的参数会不会给出同一个结果；有重复要说清楚。这里 $(a, b) = (3, 1)$ 和 $(1, 2)$ 都给出 $5$ ，所以不能按 $9$ 个算。
问取值时，逐个加入变量检查有没有空隙。 $b = 1, 2, 3$ 分别给出 $3$ 到 $5$ 、 $5$ 到 $7$ 、 $7$ 到 $9$ ，首尾相接，没有空隙。
把集合的个数或元素和算出来。集合是 $3$ 到 $9$ 的全部整数，共 $7$ 个，元素和是 $3 + 4 + \dots + 9 = 42$ 。
用最小的几个值试一试，确认规律没有算错。 $3 = 1 + 2 \times 1$ ， $4 = 2 + 2 \times 1$ ， $9 = 3 + 2 \times 3$ ，都取得到。

四、再做一道

例 2：逐个加入元素，检查无缝

从 ${1, 2, 4, 7}$ 中任取一个子集（可以为空），把元素相加，空集的和记为 $0$ 。一共能得到多少个不同的和？

怎么看出来：

子集有 $16$ 个，和却可能重复。最大的和是 $14$ ，要说明 $0$ 到 $14$ 是否都取得到，就逐个加入元素。

解：

只用 $1$ ：得 $0, 1$ 。加入 $2$ ：再得 $2, 3$ ，合起来是 $0$ 到 $3$ 。加入 $4$ ：再得 $4$ 到 $7$ ，合起来是 $0$ 到 $7$ 。加入 $7$ ：再得 $7$ 到 $14$ ，与前一段在 $7$ 处重叠，合起来是 $0$ 到 $14$ 。所有整数都取到，共 $15$ 个。 $7$ 既是 $1 + 2 + 4$ ，也是 $7$ ，所以 $16$ 个子集只给出 $15$ 个和。

答案：

$15$ 个。

五、容易错在哪

没有证明不重复就对参数求和或计数。不同参数可能给出同一个数，这样元素和就算多了。
只算出最小值和最大值，就认为中间每个整数都取得到。要检查相邻两段之间有没有空隙。
排序时只看参数大小，没有证明较小的参数确实给出较小的数。
进阶题里：用基本不等式求最值，只说明了边界，还要说明边界内每个值都能取到，以及等号能否取到。

一、是什么

2 个集合：公共部分多数了一次

$∣ X ∣$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数。 $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ 。原因是只在一个集合里的元素被数了 $1$ 次，同时在 2 个集合里的元素被数了 $2$ 次，减去 $∣ A \cap B ∣$ 后每个元素都只算 $1$ 次。例如 $∣ A ∣ = 5, ∣ B ∣ = 4, ∣ A \cap B ∣ = 2$ ，则 $∣ A \cup B ∣ = 7$ 。元素之和也一样： $A \cup B$ 的和 $= A$ 的和 $+ B$ 的和 $- A \cap B$ 的和。

求交集：单调函数加一个越界点

$B$ 由单调函数生成时， $A \cap B$ 只需找到函数值越过上界的位置。设 $A = {1, 2, \dots, 100}$ ， $B = {n^{2} + 3 n ∣ n \in Z, 1 \leq n \leq 100}$ 。 $n$ 越大， $f (n) = n^{2} + 3 n$ 越大。 $f (8) = 88 \leq 100$ ， $f (9) = 108 > 100$ ，所以 $B$ 中恰有 $n = 1, \dots, 8$ 这 $8$ 个值落在 $A$ 里。

先看一道例题

例 1：并集元素之和

设 $A$ 是不超过 $30$ 的正整数中 $3$ 的倍数， $B$ 是其中 $5$ 的倍数。求 $A \cup B$ 的所有元素之和。

怎么看出来：

元素和也能容斥。公共元素是 $15$ 的倍数，只有 $2$ 个。

解：

$1 + 2 + \dots + 10 = 55$ ，所以 $A$ 的元素和为 $3 \times 55 = 165$ 。 $1 + 2 + \dots + 6 = 21$ ，所以 $B$ 的元素和为 $5 \times 21 = 105$ 。 $A \cap B = {15, 30}$ ，和为 $45$ 。所以并集元素和为 $165 + 105 - 45 = 225$ 。

答案：

$225$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
求 $∣ A \cup B ∣$ 或并集元素之和	用容斥公式，先求交集
一个集合由单调函数生成，另一个是 $1$ 到 $N$	函数值越界的位置决定交集大小
已知几个集合大小，问交集最少、最多	最多看小集合，最少用容斥写不等式（见进阶“交集和并集的最值”）
报名、覆盖问题问“至少有多少人全部参加”	看不在每个集合的人数，全部加起来（见同一进阶）
已知多个并集大小，如 $∣ A \cup B ∣$ 、 $∣ B \cup C ∣$	把 $A \cup B \cup C$ 分成 $7$ 块设未知数，列方程（见同一进阶）
问区间交集的长度	把长度当作元素个数，同样用容斥（见进阶“区间长度”）

三、怎么用

确认每个集合的元素个数；生成的集合先说明没有重复。例如在 $1$ 到 $20$ 中， $A$ 是 $2$ 的倍数， $B$ 是 $3$ 的倍数： $∣ A ∣ = 10$ ， $∣ B ∣ = 6$ 。
求交集，端点单独代入检查。同时是 $2, 3$ 的倍数就是 $6$ 的倍数： $6, 12, 18$ ； $18 \leq 20$ ， $24 > 20$ ，所以 $∣ A \cap B ∣ = 3$ 。
代入容斥公式。个数和元素之和都可以这样算。 $∣ A \cup B ∣ = 10 + 6 - 3 = 13$ 。
求最值时把容斥写成不等式。如果只知道 $∣ A ∣ = 10$ ， $∣ B ∣ = 6$ ，且它们都在 $20$ 个元素的全集里，那么 $∣ A \cap B ∣ = 16 - ∣ A \cup B ∣ \geq 16 - 20 = - 4$ ，又不能小于 $0$ ，所以下界是 $0$ ；交集不超过小集合，所以上界是 $6$ 。
构造例子，说明界真能取到。 $A = {1, \dots, 10}$ ， $B = {11, \dots, 16}$ 时交集有 $0$ 个元素； $A = {1, \dots, 10}$ ， $B = {1, \dots, 6}$ 时交集有 $6$ 个元素。

四、再做一道

例 2：单调截断求交集

设 $B = {n^{2} ∣ n = 1, 2, \dots, 60}$ ， $C = {n^{3} ∣ n = 1, 2, \dots, 20}$ 。求 $∣ B \cup C ∣$ 。

怎么看出来：

$n$ 越大， $n^{2}$ 和 $n^{3}$ 都越大，所以 2 个集合的元素都没有重复。公共元素既是平方数又是立方数，要先弄清这种数的样子。

解：

$∣ B ∣ = 60$ ， $∣ C ∣ = 20$ 。把正整数分解质因数：平方数的每个质因数的指数都是偶数，立方数的每个指数都是 $3$ 的倍数。同时满足时，每个指数都是 $6$ 的倍数，所以这个数是某个正整数 $k$ 的 $6$ 次方（ $1 = 1^{6}$ ）。反过来， $k^{6} = (k^{3})^{2} = (k^{2})^{3}$ ，既是平方数又是立方数。 $B$ 的最大元素是 $3600$ ， $C$ 的最大元素是 $8000$ ，所以公共元素不超过 $3600$ 。 $3^{6} = 729 \leq 3600$ ， $4^{6} = 4096 > 3600$ ，所以 $k = 1, 2, 3$ ，公共元素是 $1, 64, 729$ 。其中 $1 = 1^{2} = 1^{3}$ ， $64 = 8^{2} = 4^{3}$ ， $729 = 2 7^{2} = 9^{3}$ ，确实都在 $B$ 和 $C$ 中。所以 $∣ B \cup C ∣ = 60 + 20 - 3 = 77$ 。

答案：

$77$ 。

五、容易错在哪

交集的端点漏算。要代入检查恰好等于上界的那个值。
$B$ 由函数生成时，要先证明没有重复，才能把参数个数当作 $∣ B ∣$ 。
求最值只给出不等式，没有构造例子，不能说明这个值能取到。
3 个集合的公式最后要加回 $∣ A \cap B \cap C ∣$ ，漏掉就少算了。
两个集合可能不相交，交集最小值不能写成可能为负的 $p + q - u$ ，要和 $0$ 比较。

进阶：3 个集合的容斥

3 个集合：加、减、再加

$∣ A \cup B \cup C ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣ - ∣ A \cap B ∣ - ∣ A \cap C ∣ - ∣ B \cap C ∣ + ∣ A \cap B \cap C ∣$ 。可以逐类检查：在 2 个集合里的元素算了 $2 - 1 = 1$ 次；在 3 个集合里的元素算了 $3 - 3 + 1 = 1$ 次。同样的方法还能得到别的结论：恰好属于 $1$ 个集合的元素数为 $∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣ - 2 (∣ A \cap B ∣ + ∣ A \cap C ∣ + ∣ B \cap C ∣) + 3∣ A \cap B \cap C ∣$ ，因为在 2 个集合里的元素算了 $2 - 2 = 0$ 次，在 3 个集合里的元素算了 $3 - 6 + 3 = 0$ 次。

例 3：3 个集合的完整公式

$1$ 到 $100$ 的整数中，有多少个不能被 $2, 3, 5$ 中任何一个整除？

怎么看出来：

不能被任何一个整除，就是不在“倍数集合”的并集里。先用 3 个集合的容斥求并集。

解：

设 $A, B, C$ 分别是 $2, 3, 5$ 的倍数，则 $∣ A ∣ = 50$ ， $∣ B ∣ = 33$ ， $∣ C ∣ = 20$ 。同时被 $2, 3$ 整除就是被 $6$ 整除， $∣ A \cap B ∣ = 16$ ；同时被 $2, 5$ 整除就是被 $10$ 整除， $∣ A \cap C ∣ = 10$ ，同时被 $3, 5$ 整除就是被 $15$ 整除， $∣ B \cap C ∣ = 6$ ，3 个数都整除就是被 $30$ 整除， $∣ A \cap B \cap C ∣ = 3$ 。并集大小为 $50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = 74$ 。所求为 $100 - 74 = 26$ 。

答案：

$26$ 个。

进阶：交集和并集的最值 · 先修：先读本卡“3 个集合的容斥”

2 个集合交集的最大值和最小值

设全集有 $u$ 个元素， $∣ A ∣ = p$ ， $∣ B ∣ = q$ 。交集不会比小的集合大，所以最大值是 $min (p, q)$ ，这个记号表示 $p, q$ 中较小的一个，取到时小集合包含于大集合。 $A \cup B$ 不超过全集，由容斥得 $∣ A \cap B ∣ = p + q - ∣ A \cup B ∣ \geq p + q - u$ ，又不能小于 $0$ ，所以最小值是 $max (0, p + q - u)$ ，这个记号表示 $0$ 和 $p + q - u$ 中较大的一个。这里还要 $p, q \leq u$ 。例如 $u = 50, p = 30, q = 35$ ，最大值 $30$ ，最小值 $15$ 。

3 个集合的公共部分：看不在的人

求 $∣ A \cap B \cap C ∣$ 的最小值时，看补集更方便。一个元素不在公共部分，是因为它至少不在其中一个集合。不在 $A$ 、不在 $B$ 、不在 $C$ 的数量相加，就是“不在公共部分”数量的上限，所以 $∣ A \cap B \cap C ∣ \geq u - (u - ∣ A ∣) - (u - ∣ B ∣) - (u - ∣ C ∣)$ 。化简得 $∣ A \cap B \cap C ∣ \geq ∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣ - 2 u$ ，它还要和 $0$ 比较。例如 $u = 100$ ，3 个集合大小为 $90, 80, 70$ ，公共部分至少 $40$ ；等号在这 3 个补集互不相交时取到。

求最值要 2 步：给出界，再构造例子

只写出不等式，还不能说明这个值真能达到。必须再举一个具体例子，让等号成立。遇到 3 个集合的条件较多时，可以把 $A \cup B \cup C$ 分成 $7$ 块，每块设一个未知数（一般的全集还多一块“3 个集合都不属于”）。例如 $∣ A \cup B ∣$ 就是这 $7$ 块中除“只在 $C$ ”以外的部分。把条件全部写成方程，再求最值。

例 4：由两两交集求并集的最大值和最小值

有限集合 $A, B, C$ 满足 $∣ A ∣ = ∣ B ∣ = ∣ C ∣ = 6$ ， $∣ A \cap B ∣ = ∣ B \cap C ∣ = ∣ C \cap A ∣ = 3$ 。求 $∣ A \cup B \cup C ∣$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

3 个集合的公式中只有 $t = ∣ A \cap B \cap C ∣$ 未知，所以问题变成 $t$ 能取哪些值。范围得到后还要构造例子。

解：

由容斥， $∣ A \cup B \cup C ∣ = 18 - 9 + t = 9 + t$ 。公共部分不超过两两交集，所以 $0 \leq t \leq 3$ ，即并集大小在 $9$ 到 $12$ 之间。构造最小： $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， $B = {1, 2, 3, 7, 8, 9}$ ， $C = {4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ，两两交集都有 $3$ 个元素， $t = 0$ ，并集有 $9$ 个元素。构造最大：3 个集合都含 $1, 2, 3$ ，再分别加入 ${4, 5, 6}$ 、 ${7, 8, 9}$ 、 ${10, 11, 12}$ ，两两交集都是 ${1, 2, 3}$ ， $t = 3$ ，并集有 $12$ 个元素。

答案：

最大值 $12$ ，最小值 $9$ 。

进阶：区间长度

把长度当作个数：区间也适用

区间长度的算法和元素个数相同。 $A, B$ 都在长度为 $L$ 的区间内，长度分别为 $p, q$ ，当它们相交时，交集长度 $\geq p + q - L$ 。例如在 $[0, 10]$ 内取长度为 $7$ 和 $6$ 的区间， $A = [0, 7]$ ， $B = [4, 10]$ ，交集是 $[4, 7]$ ，长度为 $3 = 7 + 6 - 10$ ，这是最小值。

真题

按这个方法练 · 9 题

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含参数的两个集合相等：先对上特殊元素，再代回检查

两个集合相等，就是它们的元素一一对上。不要把所有对应方式都试一遍，先找 0、唯一的正数这种容易定位的元素，求出参数后必须代回原集合检查。

完整讲解 · 例题 · 可练 13 题

一、是什么

集合相等的意思

$A = B$ 表示 $A$ 的元素都在 $B$ 中， $B$ 的元素也都在 $A$ 中，和书写顺序无关，所以 ${1, 2, 3} = {3, 1, 2}$ 。相同的值只算 1 个， ${1, 1}$ 就是 ${1}$ ，是只有 1 个元素的集合。3 个元素对应 3 个元素，一共有 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 种对应方式，全部试一遍太慢，所以要先定位。

先写限制

分母不为 $0$ ，根号里非负。这些限制常常直接帮你定位。例如看到 $\frac{y}{x}$ 就知道 $x \neq = 0$ ，看到 $x + 5$ 就知道 $x \geq - 5$ 且这个元素非负。

定位 0：乘积和分式最受约束

一边有 $0$ 时，另一边必须有元素等于 $0$ 。 ${x, \frac{y}{x}, 3}$ 含 $0$ 时， $3 \neq = 0$ ，而 $x$ 是分母，不能为 $0$ ，所以只能 $\frac{y}{x} = 0$ ，得 $y = 0$ 。一步消掉一个字母，剩下的对应就简单了。

代回：求出的只是可能值

平方去根号等变形可能多出解。必须把每个可能值代入原集合，逐个核对：元素是否有意义，相同的值合并后 2 边是否真的相同。只有题目规定了元素个数（如“3 元集合”）时，才排除个数不足的参数。例如 $x + 5 = x - 1$ 平方后得 $x = 4$ 或 $x = - 1$ ，但 $x = - 1$ 时左边是 $2$ ，右边是 $- 2$ ，不成立。

先看一道例题

例 1：定位 0，分情况后再比较

实数 $x, y$ 满足 ${x y, x + 2, 5} = {0, x^{2} + 1, y}$ 。求 $x, y$ 。

怎么看出来：

右边有 $0$ ，左边必须有 $0$ 。 $5 \neq = 0$ ，所以 $x y = 0$ 或 $x + 2 = 0$ ，一下子只剩 3 种情况： $x = 0$ 、 $y = 0$ 、 $x = - 2$ 。

解：

情况 1： $x = 0$ ，左边 ${0, 2, 5}$ ，右边 ${0, 1, y}$ ，右边有 $1$ 而左边没有，不成立。情况 2： $y = 0$ ，右边合并为 ${0, x^{2} + 1}$ ，最多 $2$ 个元素，而左边含 $5$ ，所以 $x^{2} + 1 = 5$ ， $x = \pm 2$ 。 $x = 2$ 时左边 ${0, 4, 5}$ ，右边 ${0, 5}$ ，不相等； $x = - 2$ 时左边 ${0, 5}$ ，右边 ${0, 5}$ ，相等。情况 3： $x = - 2$ ，左边 ${- 2 y, 0, 5}$ ，右边 ${0, 5, y}$ 。若 $y = 0$ ，就是上面的解。若 $y \neq = 0$ ，右边的 $y$ 必须在左边，而 $y \neq = - 2 y$ ， $y \neq = 0$ ，所以 $y = 5$ ；这时左边含 $- 10$ ，右边没有，不成立。

答案：

$x = - 2, y = 0$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
含参数的集合等式，一边有 $0$	找另一边哪个元素能等于 $0$ ，优先看分式的分子
已知 $y > 0$ 且一边有确定的正数	按正负号和大小定位（见进阶“按符号和大小对应”）
元素是两两之和，或者每次去掉一个数后的和	全部相加得到总和，再逐个减（见进阶“比较元素和与积”）
元素含根号，对应关系不好看	在元素互不相同时比较元素和，平方后检查（见同一进阶）
题目问集合的元素之和、某个式子的值	先求参数，代回确认后再计算

三、怎么用

写出分母、根号给出的限制。例如解 ${x, \frac{y}{x}, 3} = {0, 2, 3}$ ，分母 $x$ 不能为 $0$ 。
找特殊元素，如 $0$ ，确定它和谁对应。右边有 $0$ ，而 $3 \neq = 0$ ， $x \neq = 0$ ，所以只能 $\frac{y}{x} = 0$ ，得 $y = 0$ 。
再对上其余元素，对不上就分情况。这时左边是 ${x, 0, 3}$ ，右边还多一个 $2$ ，所以 $x = 2$ 。
把每个可能值代回原集合，相同的值合并后逐项比较。 $x = 2, y = 0$ 时左边是 ${2, 0, 3}$ ，和右边相同。
最后再算题目要求的式子。如果问 $x + y$ ，答案是 $2$ 。

四、再做一道

例 2：用单调性对上大小

$A$ 是至少含 $2$ 个元素的有限实数集，且 ${x^{2} ∣ x \in A} = A$ 。求 $A$ 。

怎么看出来：

元素个数不确定，没法一一列式。平方结果都非负，所以 $A$ 中的数都非负；在非负数上平方是递增的，大小顺序不变。

解：

右边 $A$ 等于一些平方数组成的集合，所以 $A$ 的元素都 $\geq 0$ 。当 $0 \leq a < b$ 时， $b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a) > 0$ ，所以非负数平方后大小顺序不变。把 $A$ 的元素从小到大排成 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ，则 $a_{1}^{2} < a_{2}^{2} < \dots < a_{n}^{2}$ 也是 $n$ 个不同的数，正好是 $A$ 的全部元素从小到大排列。对应位置相等， $a_{i}^{2} = a_{i}$ ，即 $a_{i} (a_{i} - 1) = 0$ ，所以每个 $a_{i}$ 是 $0$ 或 $1$ 。 $A$ 至少有 $2$ 个元素，只能是 ${0, 1}$ 。检查： ${0^{2}, 1^{2}} = {0, 1}$ 。

答案：

$A = {0, 1}$ 。

五、容易错在哪

没有确认元素互不相同就比较元素和。元素重复时和相等推不出结论。
平方去根号后不检查符号，会留下增根。
求出参数后不代回，会留下 2 边其实不同的值。元素重复时要先合并再比较，不能一看重复就舍去，除非题目规定了元素个数。
默认两边元素按书写顺序对应。集合没有顺序，要按特殊元素定位。

进阶：按符号和大小对应

定位符号：唯一的正数对唯一的正数

$y > 0$ 时， ${4 y, - y, - 2 y}$ 只有 $4 y$ 是正数。如果另一边的 $x^{2} + 3$ 一定是正数，那么只能 $x^{2} + 3 = 4 y$ 。余下的元素还可以按大小对应：大的对大的，小的对小的。因为 $- y > - 2 y$ ，所以另一边较大的元素对应 $- y$ 。

例 3：按参数符号排序，再对应

实数 $a, b$ （ $b \neq = 0$ ）满足 ${a, a + 2, a + 6} = {b, 2 b, 4 b}$ 。求 $a, b$ 。

怎么看出来：

左边的 3 个数大小已知。右边的大小取决于 $b$ 的正负，分类后从小到大一一对应，不用试 $6$ 种配对。

解：

左边 $a < a + 2 < a + 6$ ，都不相同。情况 1： $b > 0$ ，右边 $b < 2 b < 4 b$ ，所以 $a = b$ ， $a + 2 = 2 b$ ， $a + 6 = 4 b$ 。由前 2 式得 $b = 2$ ， $a = 2$ ；第 3 式 $8 = 8$ ，成立。情况 2： $b < 0$ ，右边 $4 b < 2 b < b$ ，所以 $a = 4 b$ ， $a + 2 = 2 b$ ， $a + 6 = b$ 。由前 2 式得 $b = - 1$ ， $a = - 4$ ；第 3 式 $2 = - 1$ ，不成立。检查： ${2, 4, 8} = {2, 4, 8}$ 。

答案：

$a = 2, b = 2$ 。

进阶：对数的限制 · 先修：已学对数

对数的限制

对数 $lo g_{a} N$ 要求真数 $N > 0$ 。例如 ${lo g_{2} x, 3}$ 含 $0$ 时，先写限制 $x > 0$ 。因为 $3 \neq = 0$ ，所以只能 $lo g_{2} x = 0$ ，即 $x = 2^{0} = 1$ 。

进阶：比较元素和与积

比较和或积：要先确认元素互不相同

如果 2 个集合都确实有 $n$ 个不同元素，它们的元素和相等，积也相等，这样就不用考虑对应方式。常见的隐藏形式有 2 种。每次去掉 1 个数、把其余 $n - 1$ 个相加时，每个数被加了 $n - 1$ 次，结果的总和是元素和的 $n - 1$ 倍。还有一种：3 个数 $a, b, c$ 的两两之和给出 ${5, 8, 11}$ ，全部相加得 $2 (a + b + c) = 24$ ，所以 $a + b + c = 12$ ，每个数就是 $12$ 减去一个已知的和，得 $7, 4, 1$ 。对于乘积形式 ${ab, b c, c a}$ ，也可以全部乘起来。注意：如果不知道元素是否互不相同，就不能直接比较和。

进阶：判断包含关系

判断包含关系：一边证明，一边找反例

如果问 2 个集合的关系，证明 $A \subseteq B$ 要取任意的 $A$ 中元素说明它在 $B$ 中；否定时只要举 1 个反例。例如 $A = {(x, y) ∣ x = y}$ ， $B = {(x, y) ∣ x^{2} = y^{2}}$ 。 $x = y$ 时 $x^{2} = y^{2}$ ，所以 $A \subseteq B$ ；而 $(1, - 1) \in B$ 但 $\in / A$ ，所以 $A \neq = B$ 。

进阶：点集交换坐标

例 4：点集关于直线对称，先比较坐标

点集 $M = {(1, a), (b, 3), (2, c)}$ 满足：把每个点的横、纵坐标交换后，得到的点集仍是 $M$ ，即 ${(y, x) ∣ (x, y) \in M} = M$ 。求实数 $a, b, c$ 。

怎么看出来：

点之间的对应方式很多。但交换坐标后点集不变，说明所有横坐标组成的集合和所有纵坐标组成的集合相同。先比较这 2 个集合，就能定位。

解：

横坐标集合是 ${1, b, 2}$ ，纵坐标集合是 ${a, 3, c}$ ，2 个集合相等。纵坐标中有 $3$ ，而 $1 \neq = 3$ ， $2 \neq = 3$ ，所以 $b = 3$ 。于是 ${1, 2, 3} = {a, 3, c}$ ， $a, c$ 只能一个是 $1$ 、一个是 $2$ 。比较坐标只是必要条件，要回代。 $a = 1, c = 2$ 时 $M = {(1, 1), (3, 3), (2, 2)}$ ，每个点交换坐标后不变，成立。 $a = 2, c = 1$ 时 $M = {(1, 2), (3, 3), (2, 1)}$ ，交换后 $(1, 2)$ 与 $(2, 1)$ 互换， $(3, 3)$ 不变，成立。

答案：

$b = 3$ ，且 $(a, c) = (1, 2)$ 或 $(2, 1)$ 。

真题

按这个方法练 · 13 题

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含参数的不等式集合：化成区间，比较端点，检验等号

把集合都画到数轴上，子集、相交这些关系就变成端点谁大谁小。参数的特殊值和端点的等号要单独检查，答案对错常常就差在这里。

完整讲解 · 例题 · 可练 31 题

一、是什么

先把每个集合化成区间

区间用方括号表示含端点，圆括号表示不含端点。 $x^{2} - x - 6 \leq 0$ 分解为 $(x - 3) (x + 2) \leq 0$ ，得 $[- 2, 3]$ 。 $\frac{x - 1}{x + 2} < 0$ 表示分子分母异号，得 $(- 2, 1)$ ； $x = - 2$ 使分母为 $0$ ，无论不等号怎样都不能取。 $∣ x - b ∣ < a$ （ $a > 0$ ）表示 $x$ 到 $b$ 的距离小于 $a$ ，即 $(b - a, b + a)$ 。

子集：别忘了空集

$A \cap B = A$ 和 $A \cup B = B$ 都等价于 $A \subseteq B$ 。空集是任何集合的子集，所以 $A$ 可能为空时要单独算。例如 $A = [m, 2 m - 3]$ ， $B = [- 1, 5]$ ： $A$ 为空时 $m > 2 m - 3$ ，即 $m < 3$ ，这时满足要求； $A$ 非空时 $m \geq 3$ ，还要 $m \geq - 1$ 且 $2 m - 3 \leq 5$ ，得 $3 \leq m \leq 4$ 。合起来 $m \leq 4$ 。如果题目说 $A$ 非空，就只取后一段。

相交：比较较大的左端点和较小的右端点

区间 $(p_{1}, q_{1})$ 和 $(p_{2}, q_{2})$ 的交集从 $max (p_{1}, p_{2})$ 开始，到 $min (q_{1}, q_{2})$ 结束，这里 $max$ 表示取较大的一个， $min$ 表示取较小的一个。前者小于后者时一定有公共部分；前者大于后者时一定没有。相等时要看这个点是否同时属于 2 个区间： $[1, 2]$ 和 $[2, 3]$ 交于 $2$ ， $[1, 2)$ 和 $[2, 3]$ 不相交。

等号：代入端点检查

不要死记开闭规则，把端点值代回去最可靠。设 $(a, + \infty) \cap {1, 2, 3} = {2, 3}$ ：要含 $2$ ，需 $a < 2$ ；要不含 $1$ ，需 $a \geq 1$ 。检查 $a = 1$ ：集合 $(1, + \infty)$ 不含 $1$ ，符合，所以能取； $a = 2$ ：不含 $2$ ，不符合，不能取。答案是 $[1, 2)$ 。

先看一道例题

例 1：交集为空，等号能取

设 $A = {x ∣ x^{2} - 5 x + 4 < 0}$ ， $B = {x ∣ c < x < c + 2}$ 。若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $c$ 的范围。

怎么看出来：

2 个都是开区间。不相交就是 $B$ 整个在 $A$ 的左边或右边，端点相等时要单独看。

解：

$(x - 1) (x - 4) < 0$ ，所以 $A = (1, 4)$ 。 $B$ 在左边： $c + 2 \leq 1$ ，即 $c \leq - 1$ 。 $B$ 在右边： $c \geq 4$ 。检查端点： $c = - 1$ 时 $B = (- 1, 1)$ ， $1$ 不属于任何一个区间，确实不相交，能取； $c = 4$ 时 $B = (4, 6)$ ，也不相交，能取。

答案：

$c \leq - 1$ 或 $c \geq 4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$A \cap B = A$ 、 $A \cup B = B$ 或 $A \subseteq B$	改写成子集，并讨论 $A$ 是否为空
$A \cap B \neq = \emptyset$ 或 $A \cap B = \emptyset$	比较较大的左端点和较小的右端点
$A \cap B$ 恰为某个已知区间	判断每个端点来自哪个集合，再反求参数（见进阶“参数决定区间形状”）
交集恰含几个整数，或者子集个数已知	换算成元素个数，用相邻 2 个整数夹住端点（见进阶“恰含几个整数与子集个数”）
不等式里系数含参数，如 $b x \geq b^{3}$	按参数正、零、负分类（见进阶“参数决定区间形状”）
集合是方程 $f (x) = 0$ 的根，要求落在区间内	看区间端点的函数值符号（见进阶“方程的根落在区间内”）

三、怎么用

把每个集合化成区间。例如 $A = [m, 3]$ ， $B = {x ∣ (x - 1) (x - 5) \leq 0}$ ，要求 $A \subseteq B$ ：先得 $B = [1, 5]$ 。
把条件翻译成区间关系；子集情形先讨论空集。 $m > 3$ 时 $A$ 为空，空集是任何集合的子集，满足要求。
把区间关系写成端点比较，解出参数范围。 $m \leq 3$ 时，要 $m \geq 1$ 且 $3 \leq 5$ ，得 $1 \leq m \leq 3$ 。
把范围的每个端点代回原集合，检查等号能否取到。 $m = 1$ 时 $[1, 3] \subseteq [1, 5]$ ，成立； $m = 3$ 时 $A = {3} \subseteq [1, 5]$ ，成立。
把各种情况合并，写出最后的答案。 $m > 3$ 与 $1 \leq m \leq 3$ 合起来是 $m \geq 1$ 。

四、再做一道

例 2：二次不等式的解集可能为空

设 $A = {x ∣ x^{2} + 2 x + a \leq 0}$ ， $B = {x ∣ (x + 4) (x - 1) \leq 0}$ 。若 $A \cap B = A$ ，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

$A \cap B = A$ 等于 $A \subseteq B$ 。配方后能看出 $A$ 何时为空，何时是关于 $x = - 1$ 对称的区间。

解：

$B = [- 4, 1]$ 。不等式配方为 $(x + 1)^{2} \leq 1 - a$ 。情况 1： $a > 1$ ，右边是负数， $A$ 为空，满足要求。情况 2： $a \leq 1$ ，设 $r = 1 - a \geq 0$ ， $A = [- 1 - r, - 1 + r]$ 。需要 $- 1 - r \geq - 4$ 且 $- 1 + r \leq 1$ ，即 $r \leq 3$ 且 $r \leq 2$ ，所以 $r \leq 2$ ， $1 - a \leq 4$ ， $a \geq - 3$ ，这种情况得 $- 3 \leq a \leq 1$ 。检查 $a = - 3$ ： $A = [- 3, 1] \subseteq B$ ，成立。合并两种情况。

答案：

$a \geq - 3$ 。

五、容易错在哪

开区间和闭区间混淆，导致端点该取不取。把端点值代回原集合检查，比背规则可靠。
$A \subseteq B$ 时漏掉 $A$ 为空集的情况，答案会少一段。题目写明非空时才可以去掉。
不等式两边除以含参数的式子，忘了分正、零、负。
分式不等式把分母为 $0$ 的点算进去。这个点无论如何都不能取。
题目给的是子集个数，要先换算成元素个数， $4$ 个子集是 $2$ 个元素。

进阶：指数不等式化区间 · 先修：已学指数函数

指数不等式化区间

$(\frac{1}{2})^{x} \leq 1$ 即 $(\frac{1}{2})^{x} \leq (\frac{1}{2})^{0}$ 。底数 $\frac{1}{2}$ 小于 $1$ ， $x$ 越大值越小，所以 $x \geq 0$ ，集合是 $[0, + \infty)$ 。

进阶：参数决定区间形状

参数决定形状时要分类

不等式两边除以负数要变号，除以 $0$ 没有意义。所以 $b x \geq b^{3}$ 要分 $3$ 种情况： $b > 0$ 时 $x \geq b^{2}$ ； $b = 0$ 时不等式是 $0 \geq 0$ ， $x$ 可取一切实数； $b < 0$ 时 $x \leq b^{2}$ 。二次项系数含参数时也要先讨论系数是否为 $0$ 。

例 3：由交集反推参数，分类讨论

设 $A = {x ∣ (x - 1) (x - m) \leq 0}$ ， $B = {x ∣ c x \geq 2 c}$ ，且 $A \cap B = [2, 4]$ 。求 $m$ 和 $c$ 的范围。

怎么看出来：

$A$ 的一个端点固定为 $1$ ， $B$ 的形状由 $c$ 的符号决定。交集的 2 个端点分别来自哪个集合，要逐类判断。

解：

先看 $A$ ：交集含 $4$ ，而 $A$ 的端点是 $1$ 和 $m$ ，所以必须 $m \geq 4$ ， $A = [1, m]$ 。再看 $B$ ： $c > 0$ 时 $B = [2, + \infty)$ ； $c = 0$ 时不等式是 $0 \geq 0$ ， $B$ 是全体实数； $c < 0$ 时 $B = (- \infty, 2]$ 。 $c = 0$ 时交集是 $[1, m]$ ，左端点是 $1$ ，不符合。 $c < 0$ 时交集是 $[1, 2]$ ，不含 $4$ ，不符合。所以 $c > 0$ ，交集是 $[2, m]$ ，得 $m = 4$ 。检查： $[1, 4] \cap [2, + \infty) = [2, 4]$ 。

答案：

$m = 4$ ， $c > 0$ 。

进阶：恰含几个整数与子集个数

恰好含几个整数：用夹逼

区间 $(\frac{b}{3}, \frac{a}{2}]$ 恰好含整数 $2, 3, 4$ ：它必须含 $2$ 不含 $1$ ，所以 $1 \leq \frac{b}{3} < 2$ ；必须含 $4$ 不含 $5$ ，所以 $4 \leq \frac{a}{2} < 5$ 。二次不等式的解关于对称轴对称，可以按整数到对称轴的距离排队： $x^{2} - 6 x + a < 0$ 配方为 $(x - 3)^{2} < 9 - a$ 。 $a \geq 9$ 时解集为空； $a < 9$ 时令 $r = 9 - a > 0$ ，解是 $3 - r < x < 3 + r$ ，距离为 $k$ 的整数在解集内当且仅当 $k < r$ 。

个数信息先换算

子集个数是 $2^{n}$ 的形式。题目说“子集个数为 $4$ ”，就是集合恰有 $2$ 个元素；“只有 $1$ 个子集”，就是集合是空集。先换算，再用上面的方法。

例 4：由子集个数定整数，参数分 2 类

设 $a \neq = 1$ ， $N = {x \in Z \frac{x - 1}{x - a} < 0}$ 。若 $N$ 的子集个数为 $8$ ，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

子集个数 $8 = 2^{3}$ ，说明 $N$ 恰有 $3$ 个元素。分式小于 $0$ 的解在 $1$ 和 $a$ 之间， $a$ 在 $1$ 的哪一边要分类。

解：

情况 1： $a > 1$ ，解为 $1 < x < a$ ，整数从 $2$ 开始，恰有 $3$ 个就是 $2, 3, 4$ ，需要 $4 < a \leq 5$ 。检查： $a = 5$ 时解为 $1 < x < 5$ ，整数为 $2, 3, 4$ ，符合； $a = 4$ 时只有 $2, 3$ ，不符合。情况 2： $a < 1$ ，解为 $a < x < 1$ ，整数从 $0$ 往下数，恰有 $3$ 个就是 $0, - 1, - 2$ ，需要 $- 3 \leq a < - 2$ 。检查： $a = - 3$ 时解为 $- 3 < x < 1$ ，整数为 $- 2, - 1, 0$ ，符合； $a = - 2$ 时只有 $- 1, 0$ ，不符合。

答案：

$- 3 \leq a < - 2$ 或 $4 < a \leq 5$ 。

例 5：固定长度的区间恰含指定整数

实数 $a$ 使闭区间 $[a, a + \frac{5}{2}]$ 中的整数恰好是 $1, 2$ 。求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

恰好含 $1, 2$ ，就是含 $1$ 不含 $0$ ，含 $2$ 不含 $3$ 。左右端点都由同一个 $a$ 决定，最后要取交集。

解：

左端：含 $1$ 不含 $0$ ，需 $0 < a \leq 1$ 。右端：含 $2$ 不含 $3$ ，需 $2 \leq a + \frac{5}{2} < 3$ ，即 $- \frac{1}{2} \leq a < \frac{1}{2}$ 。取交集得 $0 < a < \frac{1}{2}$ 。检查端点： $a = 0$ 时区间含 $0$ ，不符合； $a = \frac{1}{2}$ 时区间 $[\frac{1}{2}, 3]$ 含 $3$ ，不符合； $a = \frac{1}{4}$ 时区间 $[\frac{1}{4}, \frac{11}{4}]$ 恰含 $1, 2$ ，符合。

答案：

$0 < a < \frac{1}{2}$ 。

进阶：方程的根落在区间内 · 先修：二次方程的求根公式

方程的根都落在区间内

$A$ 是方程的根组成的集合时， $A \subseteq [p, q]$ 表示每个根都落在区间里。设 $f (x) = x^{2} + a x - 1$ 。由求根公式，两根 $r_{1} = \frac{- a - a ^{2} + 4}{2}$ ， $r_{2} = \frac{- a + a ^{2} + 4}{2}$ 。因为 $a^{2} + 4 > ∣ a ∣$ ，所以 $r_{1} < 0 < r_{2}$ ，且 $f (x) = (x - r_{1}) (x - r_{2})$ 。取 $x = 2$ ：第 1 个因子为正，所以 $f (2) \geq 0$ 等价于 $2 - r_{2} \geq 0$ ，即 $r_{2} \leq 2$ 。取 $x = - 2$ ：第 2 个因子为负，所以 $f (- 2) \geq 0$ 等价于 $- 2 - r_{1} \leq 0$ ，即 $r_{1} \geq - 2$ 。所以根都在 $[- 2, 2]$ 内，等价于 $f (- 2) = 3 - 2 a \geq 0$ 且 $f (2) = 3 + 2 a \geq 0$ ，解得 $- \frac{3}{2} \leq a \leq \frac{3}{2}$ 。

真题

按这个方法练 · 31 题

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充分必要、否定和量词的题：翻译成集合关系

把每个条件换成满足它的那些元素组成的集合。“能推出”就是小集合包含于大集合。否定、“存在”“任意”也能照此翻译，放在进阶里分题型练。

完整讲解 · 例题 · 可练 39 题

一、是什么

充分和必要：小的推出大的

$p$ 能推出 $q$ 时，说 $p$ 是 $q$ 的充分条件， $q$ 是 $p$ 的必要条件。设满足 $p, q$ 的集合是 $P, Q$ ， $p$ 能推出 $q$ 就是 $P \subseteq Q$ ：在 $P$ 里的每个元素都满足 $q$ 。 $x \in (1, 2]$ 能推出 $x \in (1, 5]$ ，所以前者是后者的充分不必要条件。可以记成：小范围是大范围的充分条件。两边相等时是充要条件；互不包含时既不充分也不必要。

说明“不能推出”：举 1 个反例

证明不能推出，只要找 1 个满足前面但不满足后面的例子。“ $a + b > 2$ 且 $ab > 1$ ”不能推出“ $a > 1$ 且 $b > 1$ ”：取 $a = \frac{1}{2}, b = 4$ ，则 $a + b = 4.5 > 2$ ， $ab = 2 > 1$ ，但 $a < 1$ 。证明能推出，则要对所有情况说理。

先看一道例题

例 1：判断充分必要

“ $∣ x ∣ < 2$ ”是“ $x^{2} - x - 2 < 0$ ”的什么条件？

怎么看出来：

2 个条件都能解成区间，比较区间的包含关系。

解：

$∣ x ∣ < 2$ 对应 $P = (- 2, 2)$ 。 $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1) < 0$ 表示两因子异号，解是 $- 1 < x < 2$ ，对应 $Q = (- 1, 2)$ 。 $Q$ 整个落在 $P$ 里，而且比 $P$ 小，所以由 $x^{2} - x - 2 < 0$ 能推出 $∣ x ∣ < 2$ ，反过来不行。反例： $x = - \frac{3}{2}$ 时 $∣ x ∣ < 2$ ，但 $x^{2} - x - 2 = \frac{7}{4} > 0$ 。

答案：

必要不充分条件。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
题目问充分、必要、充要条件	写出 2 个集合，看谁包含谁；不能推出就找反例
“ $a = 1$ 是……的充分条件”	把 $a = 1$ 代入，得到一个确定的结论（见进阶“含参数的充分条件”）
要写命题的否定	换量词，并否定结论；多个量词逐个换（见进阶“命题的否定”）
集合的条件里出现“存在”“任意”	存在取并集，任意取交集（见进阶“存在与任意”）
含参数的“恒成立”“能成立”	最值存在时看最小值、最大值；不存在时看边界并单独判断等号（见进阶“恒成立和能成立”）
几个命题恰有 1 个真，或几句话只有 1 句真	分情况列真假，用集合运算或者枚举（见进阶“或、且与真假话”）

三、怎么用

把每个条件化成集合，能解出范围的先解出来。例如判断“ $x < 1$ ”是“ $x < 3$ ”的什么条件： $P = (- \infty, 1)$ ， $Q = (- \infty, 3)$ 。
看谁包含谁。 $P$ 里的数都小于 $3$ ，所以 $P \subseteq Q$ ，“ $x < 1$ ”能推出“ $x < 3$ ”。
反方向不能推出时举反例。 $x = 2$ 满足 $x < 3$ ，不满足 $x < 1$ 。
对照方向下结论，再查端点。小范围 $P$ 是充分条件，所以“ $x < 1$ ”是“ $x < 3$ ”的充分不必要条件；两个范围都不含端点， $x = 1$ 不属于 $P$ 但属于 $Q$ ，与结论相符。

四、再做一道

例 2：一边没有下界

“ $x^{2} < 4$ ”是“ $x < 2$ ”的什么条件？

怎么看出来：

这次先判断方向。 $x < 2$ 没有下界，范围更大。

解：

$x^{2} < 4$ 即 $- 2 < x < 2$ ，对应 $P = (- 2, 2)$ 。 $x < 2$ 对应 $Q = (- \infty, 2)$ 。 $P$ 里的数都小于 $2$ ，所以 $P \subseteq Q$ ，“ $x^{2} < 4$ ”能推出“ $x < 2$ ”。反过来不行。反例： $x = - 3$ 满足 $x < 2$ ，但 $x^{2} = 9$ 。小范围 $P$ 是充分条件。

答案：

充分不必要条件。

五、容易错在哪

把充分、必要的方向弄反。记住：能推出时，前面是充分条件，后面是必要条件；小集合是大集合的充分条件。
只举一个满足的例子，就说“能推出”。能推出要对所有情况说理，不能推出才用一个反例。
否定时只换量词不否定结论，或者只否定结论不换量词。2 件事都要做。
把“不是正数”写成“是负数”。漏掉了 0。
把“恒成立”和“能成立”的最值用反了。任意看最差的情况，存在看最好的情况；范围是开区间时最值可能不存在，边界值要代进去单独判断。

$x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$ 。 $x \in [1, 3]$ 时 $x - 1 \in [0, 2]$ ， $(x - 1)^{2}$ 随 $x$ 增大而增大，所以 $x = 1$ 时最小，为 $- 1$ ； $x = 3$ 时最大，为 $3$ 。(1) 需要最小值 $\geq a$ ，所以 $a \leq - 1$ 。(2) 需要最大值 $\geq a$ ，所以 $a \leq 3$ 。

答案：

(1) $a \leq - 1$ ；(2) $a \leq 3$ 。

进阶：或、且与真假话 · 先修：指数函数

或、且，以及“恰有 1 个真”

“ $p$ 或 $q$ ”只有 2 个都假才假；“ $p$ 且 $q$ ”只有 2 个都真才真。“恰有 1 个为真”分成 2 种： $p$ 真 $q$ 假，或者 $p$ 假 $q$ 真。对应集合是 $(P \cap ∁ Q) \cup (∁ P \cap Q)$ 。先分别求 $P, Q$ ，再在数轴上取。

真假话题：假设后数真话

条件很少、可能性很少时，假设每种情况后数有几句真话。例：3 人中只有 1 人得第一，只有 1 人说真话。甲说“我不是第一”，乙说“甲是第一”，丙说“我不是第一”。若甲第一，乙、丙说真话，共 $2$ 句；若乙第一，甲、丙说真话，共 $2$ 句；若丙第一，只有甲说真话，共 $1$ 句，符合。所以丙第一。

例 6：或为真、且为假

已知 $a > 1$ 。设 $p$ ：函数 $y = (a - 1)^{x}$ 在全体实数上递增； $q$ ：对任意实数 $x$ ， $x^{2} + a x + 1 > 0$ 。若“ $p$ 或 $q$ ”为真，“ $p$ 且 $q$ ”为假，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

或为真、且为假，就是恰有 $1$ 个为真。分别求出 2 个范围，再分 2 种情况取。

解：

$a > 1$ 时底数 $a - 1$ 是正数。 $a = 2$ 时底数是 $1$ ， $y$ 恒等于 $1$ ，不递增。 $p$ 为真：底数大于 $1$ ， $a - 1 > 1$ ，即 $a > 2$ 。 $q$ 为真：抛物线开口向上，要始终在 $x$ 轴上方，就要方程 $x^{2} + a x + 1 = 0$ 没有实根，即判别式 $a^{2} - 4 < 0$ （方程 $A x^{2} + B x + C = 0$ 的判别式是 $B^{2} - 4 A C$ ，小于 $0$ 时没有实根），结合 $a > 1$ 得 $1 < a < 2$ 。 $p$ 真 $q$ 假： $a > 2$ 。 $p$ 假 $q$ 真： $1 < a < 2$ 。合并得 $1 < a < 2$ 或 $a > 2$ 。检查 $a = 2$ ： $p$ 为假； $q$ 中 $x = - 1$ 时式子等于 $0$ ，也为假。2 个都假，不取。

答案：

$1 < a < 2$ 或 $a > 2$ 。

真题

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子集、映射和集合组的计数：逐个元素决定去向

不去数集合有多少个，改成问每个元素有几种去向。去向互不影响，就把种数相乘。这一步换视角，往往能把很难列举的计数变成一个乘法。

完整讲解 · 例题 · 可练 26 题

一、是什么

基本形式：每个元素做一次选择

$n$ 元集合的子集，每个元素有“在”和“不在” $2$ 种可能，所以有 $2^{n}$ 个。例如 ${1, 2, 3}$ 有 $2^{3} = 8$ 个子集。

2 个集合的问题：看每个元素有几种状态

求满足 $A \cup B = U$ 的有序对 $(A, B)$ ：每个元素不能两边都不在，只有“只在 $A$ ”“只在 $B$ ”“都在” $3$ 种状态，所以 $∣ U ∣ = n$ 时共有 $3^{n}$ 对。如果还要求 $A \cap B = \emptyset$ ，则每个元素只剩 $2$ 种状态，共 $2^{n}$ 对。

“至少一个”用总数减反面

要求 $C \cap B \neq = \emptyset$ ，反面是 $C \cap B = \emptyset$ ，也就是 $C$ 里没有 $B$ 的元素。从 ${1, \dots, 10}$ 中选 $C$ ， $B = {1, 2, 3}$ ：总数 $2^{10}$ ，反面是 $B$ 的 $3$ 个元素都不选，有 $2^{7}$ 个，答案是 $1024 - 128 = 896$ 。

先看一道例题

例 1：每个元素 3 种状态

满足 $A \subseteq B \subseteq {1, 2, 3, 4}$ 的有序集合对 $(A, B)$ 有多少个？

怎么看出来：

不要去枚举 $B$ 。每个元素的状态很简单：都不在、只在 $B$ 、 $A, B$ 都在。“只在 $A$ ”违反 $A \subseteq B$ 。

解：

每个元素恰有 $3$ 种状态， $4$ 个元素互不影响，共 $3^{4} = 81$ 种组合。每种组合恰好确定一对 $(A, B)$ ，每一对也恰好对应一种组合，所以没有重复或遗漏。

答案：

$81$ 个。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
问满足条件的子集或集合对有多少个	问每个元素有几种状态，再相乘
条件是 $A \cup B = U$ 或者规定了交集	切块，看每块元素的状态；固定部分不用选
“至少含一个”“非空交集”	总数减去反面
“非单射”	映射总数减去单射个数（见进阶“映射与二进制编码”）
若干元素之间互相约束	把这几个元素看成一组，先枚举（见进阶“有关联的元素”）
子集族，条件是任意几个子集的交集	记录每个元素属于哪些子集，再计数（见进阶“子集族与最大值”）
问最多能有几个子集	由计数得到上界，并构造例子（见同一进阶）

三、怎么用

用条件把全集切块，确定哪些元素的去向已经固定。例如求满足 $1 \in X \subseteq {1, 2, 3, 4}$ 且 $X$ 至少含 $2, 3$ 中一个的 $X$ ： $1$ 必须在， $2, 3$ 受约束， $4$ 自由。
判断其余元素的选择是否互相影响：互不影响就相乘，有影响的先整体算。 $4$ 独立，有 $2$ 种选法； $2, 3$ 互相牵制，要一起算。
“至少”“非空”类问题用总数减反面，再把各块相乘。 $2, 3$ 共 $2^{2} = 4$ 种选法，反面“都不选”有 $1$ 种，剩 $3$ 种。总数是 $1 \times 3 \times 2 = 6$ 。
数字小时列出来检验。这 $6$ 个是 ${1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}$ 。
问“最多能选几个子集”时，记录每个元素属于哪些子集，先算上界，再构造例子（见进阶“子集族与最大值”）。比如这 $6$ 个集合都含 $1$ ，所以其中任意 $2$ 个的交集都非空。

四、再做一道

例 2：总数减反面

${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 的子集中，既含奇数又含偶数的有多少个？

怎么看出来：

“既含……又含……”情况很多，反面是“不含奇数”或“不含偶数”，都很好数。这 2 种情况有重叠，要加回来。

解：

子集共 $2^{6} = 64$ 个。不含奇数：只从 $2, 4, 6$ 中选，有 $2^{3} = 8$ 个。不含偶数：只从 $1, 3, 5$ 中选，也有 $2^{3} = 8$ 个。2 种情况都满足的只有空集， $1$ 个。所以反面有 $8 + 8 - 1 = 15$ 个，答案是 $64 - 15 = 49$ 。

答案：

$49$ 个。

五、容易错在哪

把有关联的选择当成独立的直接相乘，比如忘了不能同时选的约束。
只证明了上界，没有构造达到上界的例子。这样不能断定它是最大值。
忘了并集等于全集这样的附加条件。满足 $A \cup B = U$ 时，元素不能两边都不在。
有序和无序搞混。题目把集合对分先后时，每个状态组合算一个；不分先后时要再处理重复。

进阶：映射与二进制编码

映射的个数

从集合 $X$ 到集合 $Y$ 的映射，就是给 $X$ 的每个元素指定 $Y$ 中的一个元素。 $X$ 有 $m$ 个元素、 $Y$ 有 $k$ 个元素时，每个元素有 $k$ 种去向，所以有 $k^{m}$ 个映射。单射是指不同元素的去向也不同。 $3$ 元到 $5$ 元的映射共 $5^{3} = 125$ 个，单射有 $5 \times 4 \times 3 = 60$ 个，所以非单射有 $125 - 60 = 65$ 个。

子集和二进制编码

每个元素“在”或“不在”，正好对应二进制的一位。把卡片权值设为 $1, 2, 4, 8$ ，选第 $1, 3$ 张的编码是 $1 + 4 = 5$ ；反过来，编码 $13 = 8 + 4 + 1$ 对应第 $1, 3, 4$ 张。

进阶：切块：固定、受限和自由

固定部分加上自由部分

答案：

最多 $8$ 个。

真题

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误区对照

容易误以为

$A = {- 3, - 1, 1, 3}$ 有四个元素，所以 ${x^{2} ∣ x \in A}$ 也有四个元素。

应当这样想

映射 $x \mapsto x^{2}$ 在 $A$ 上不是单射： $(- 3)^{2} = 3^{2} = 9$ ， $(- 1)^{2} = 1^{2} = 1$ 。像集为 ${1, 9}$ ，只有两个元素。

为什么

参数的个数只有在不同参数必给不同取值时才等于像集元素个数；集合必须去重。这里相反数给出同一个平方。

容易误以为

若 ${x \in R ∣ a x = 1} \subseteq {2, 4}$ ，直接写 $1/ a = 2$ 或 $1/ a = 4$ ，故 $a$ 只有 $1/2, 1/4$ 两种。

应当这样想

先分 $a = 0$ ：方程无解，左集合为空集，仍是 ${2, 4}$ 的子集。 $a \neq = 0$ 时才可写 $1/ a \in {2, 4}$ 。所以 $a \in {0, 1/2, 1/4}$ 。

为什么

除以参数前必须单查参数为零的分支；空集是任意集合的子集，不能因“没有元素可列”就丢弃。

容易误以为

“所有实数 $x$ 都满足 $x^{2} > 1$ ”的否定是“所有实数 $x$ 都满足 $x^{2} \leq 1$ ”。

应当这样想

正确否定为“存在实数 $x$ ，使 $x^{2} \leq 1$ ”。例如 $x = 0$ 已能推翻原命题；但 $x = 2$ 又说明“不等式对所有实数都反向”是更强且错误的要求。

为什么

否定全称命题要把“任意”换成“存在”，并否定结论；反例只需一个，不要求全部输入都反向。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 191 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。