2010 年陕西预赛 · 第 5 题

解答

全部取法为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=56$。固定一个顶点，平移并反射后令它为原点，其余顶点方向向量为 $\{0,1{\}}^3\setminus \{0\}$。两向量垂直当且仅当非零坐标集合不交。将三个坐标各分配给第一向量、第二向量或都不分配，有 $3^3$ 种；排除任一向量为空，再除以交换两向量的2，得 $(27-8-8+1)/2=6$ 个无序直角边对。因此直角三角形共 $8\cdot 6=48$ 个，每个恰有一个直角顶点，所求概率为 $\boxed{48/56=6/7}$。