2012 年黑龙江预赛 · 第 10 题

解答

将体对角线化为从 $(0,0,0)$ 到 $(1,1,1)$。截平面法向量满足分量和为零，经过交换坐标及整体变号，可写成 $(a,b,-a-b)$，其中 $a,b\ge 0$ 且和为正。令 $t=a/(a+b)\in [0,1]$，平面为 $z=tx+(1-t)y$。对整个单位正方形 $0\le x,y\le 1$，所得高度恰在零与一之间，真实截面就是以 $(1,0,t),(0,1,1-t)$ 为邻边方向的平行四边形。其面积为 $\sqrt{1+t^2+(1-t{)}^2}$，最小 $\sqrt{3/2}$ 在 $t=1/2$，最大 $\sqrt{2}$ 在零或一。因此 $\boxed{S_{\max }/S_{\min }=2\sqrt{3}/3}$，选 C。