培玉 · 一试
一试训练题
F2解答题向量的数量积与几何意义
在矩形中，，边上（包含点）的动点与延长线上（包含点）的动点满足，求向量与向量的数量积的最小值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先固定矩形的正交坐标，把两条等长条件用一个线段参数表示。
思路
延长线的方向决定动点的纵坐标符号，写出两向量后再展开数量积，最后在真正的闭参数区间上配方取最小值。
解答
取 。设 ，因 在闭边DC上，有 。CB从C经B向下延长，所以
从同一起点P出发的向量为
故数量积
参数 在允许区间内，且此时两动点确满足长度条件，故
复核
也可用极化恒等式：。三平方分别为 、、，整理出同一二次式。两个边界 的数量积为1、3，均比内部候选大，且 时Q=B被正确保留。
方法总结
向量数量积求最值时，先把所有位置约束落实为一个有界参数，并保证两向量采用同一起点。延长线的有向位置与长度相等不是同一信息；配方给界后，还要检查达到参数是否落在边上。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
以共同长度参数表示动点，再配方并核区间内可达；使用常规数量积坐标法或投影法。
已记下，谢谢！