2014 年黑龙江预赛 · 第 18 题

解答

将公共棱长缩为一，取 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0)$，上底第三坐标为一。$E=(1/2,1/2,0),F=(0,0,1/2),G=(0,1,t)$，平面 $AEG$ 法向量为 $(t,-t,1)$。$C_{1}F$ 方向 $(0,-1,-1/2)$ 与它点积为零给 $t=1/2$，所以 $\boxed{CG/C{C}_1=1/2}$。此时 $EG=(-1/2,1/2,1/2)$ 与 $A_{1}C=(0,1,-1)$ 点积为零，故 $\boxed{EG\perp A_{1}C}$。以 $AG$ 方向 $g=(0,1,1/2)$ 为轴，将 $A{A}_1,AE$ 正交投影到垂轴平面，得 $u=(0,-2/5,4/5),v=(1/2,1/10,-1/5)$。两向量点积为负五分之一，长度乘积为 $\sqrt{6}/5$，所以 $\boxed{\cos \angle (A_1-AG-E)=-1/\sqrt{6}}$。