2026 年北京预赛

解答

以 $M$ 为原点，以射线 $MD,ME$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴正方向。设

其中 $C=-B$ 是因为 $M$ 为 $BC$ 的中点。再设

记

由于 $A,B,M$ 不共线，$\Delta \ne 0$。

圆 $ABM$ 的方程可写成 $x^2+y^2+ux+vy=0$。代入 $D=(d,0)$ 可取 $u=-d$，再分别代入 $A,B$ 并消去 $v$，得到

同理，圆 $ACM$ 的方程写成 $x^2+y^2+u^{\prime }x-ey=0$；代入 $A,C$ 并消去 $u^{\prime }$，得到

另一方面，直线 $AC$ 与 $x$ 轴、直线 $AB$ 与 $y$ 轴的交点分别给出

题设中的交点均存在且不与 $M$ 重合，所以上述分母非零。

设 $D,E,F,G$ 所在圆的方程为 $x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma =0$。它与 $x$ 轴的两个交点横坐标为 $d,f$，与 $y$ 轴的两个交点纵坐标为 $e,g$，由一元二次方程的根积可得

代入上面的四个表达式，得到

移项并展开，

因为 $P+R>0$，故

关于 $x$ 轴反射，射线 $MC$ 的方向向量 $(-r,-s)$ 变为 $(-r,s)$。而

故反射后的直线 $MC$ 与直线 $MA$ 重合。又 $D$ 是形内点，且射线 $MD$ 交边 $AC$ 于 $F$，所以射线 $MD$ 位于 $\angle AMC$ 内部。因此 $x$ 轴对应的是内角平分线，即