2018 年湖南预赛 · 第 10 题

解答

设柱底半径 $r$、高 $h$，则 $r^2+(h/2{)}^2=R^2$。令 $r=R\cos \theta ,h=2R\sin \theta$，$0<\theta <\pi /2$。全面积为 $S=2\pi r^2+2\pi rh$，所以 $S/(2\pi R^2)={\cos }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta =1/2+(\cos 2\theta )/2+\sin 2\theta \le (1+\sqrt{5})/2$。等号在 $\cos 2\theta =1/\sqrt{5},\sin 2\theta =2/\sqrt{5}$ 时取得，两个参数均正。因此 $\boxed{S_{\max }=\pi (1+\sqrt{5})R^2}$。