2022 年广西预赛

解答

三个因子中不可能恰有两个为负，因为任意两个相加都会得到某个正数的两倍。因此题设乘积为正只可能是三个因子全为正。令

则 $u,v,w>0$。

记 $p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz$。展开原不等式可知，它等价于

代入上述三角形代换，(1) 左端化为

由 $u^3+v^3+w^3\ge 3uvw$，第一行已经不小于 $48uvw$，故整个式子严格为正，原不等式成立。