2015 年黑龙江预赛 · 第 21 题

解答

（1）焦半径在椭圆上的最大、最小值分别为 $a+c,a-c$，所以 $a^2-c^2=3a^2/4$，得到 $\boxed{e=1/2}$。（2）面积比不受整体缩放影响，取 $c=1,a=2,b=\sqrt{3}$。对题述交点及面积均有定义的方向，写焦弦 $y=k(x+1)$，其中 $k$ 为非零有限实数。令 $d=3+4k^2$，韦达给 $G=(-4k^2/d,3k/d)$；中垂线 $y=-x/k-k/d$ 与两轴交于 $D=(-k^2/d,0),E=(0,-k/d)$。因此 $R=S_1/S_2=|DF||y_G|/(|x_D{y}_E|)=9+9/k^2$，恰取遍 $(9,+\infty )$。所求为 $2R/(R^2+1)$，其导数 $2(1-R^2)/(R^2+1{)}^2<0$，所以完整范围是 $\boxed{(0,9/41)}$。