2015 年河南预赛 · 第 3 题

解答

先证明必要性。直线 $l$ 的方程为 $bx+ay-ab=0$。由 $a>1,b>1$，两点到直线的距离和为

题设因此等价于 $5ab\ge 2(a^2+b^2)$。令 $t=b/a>0$，则

又 $e=\sqrt{1+t^2}$，得到必要范围 $\sqrt{5}/2\le e\le \sqrt{5}$。

反过来，任取此区间的 $e$，令 $t=\sqrt{e^2-1}>0$，选取 $a>\max \{1,1/t\}$，再令 $b=at$、$c=ae$。 则 $a>1,b>1,c^2=a^2+b^2$，而上述平方及除法变形均可逆，所以 $S\ge 4c/5$ 成立，离心率正为所给 $e$。 两端点同样允许；对应 $b/a=1/2$ 或 $2$，可分别放大选取 $a>2$ 或 $a>1$。 所以