2008 年湖北预赛 · 第 12 题

解答

由初值正及原关系归纳，各项正。原式等价于

两侧公共值由初值为 $1$，故 $\boxed{a_{n+1}=f(a_n)=a_n+1/a_n}$（$a_n>0$）。因此各项递增且不小于 $1$，并有

累加得 $a_n^2=2n-1+{\sum }_{k=1}^{n-1}1/a_k^2$。当 $n\ge 2$，和式至少为 $1$，故 $a_n^2\ge 2n$；又每次平方增量不超过 $3$，故 $a_n^2\le 3n-2$。取 $n=2008$，有

由正性得到 $\boxed{63<a_{2008}<78}$。