培玉 · 一试
2024 年重庆预赛
F4填空题概率
一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生：有 的概率消失，有 的概率保持不变，有 的概率分裂成两个，有 的概率分裂成三个。对所有新产生的生物每天也会发生上述事件。假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过 ，则 至多为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
概率母函数把后代数j的概率作为 的系数；独立家系给出乘积。灭绝概率是从0开始迭代母函数所得极限，因单调有界且不超过任一非负不动点，故为最小不动点。
想法从哪来：一天后的期望数量不等于最终灭绝概率，所以先不要用“平均超过一只”来解阈值。以第一天的后代数分类：若留下j条相互独立的家系，全部灭绝才会使总群体灭绝，其概率是q的j次方。这样自然得到关于q的三次关系。它总有根1，却不能总选1：从“零天内灭绝”的概率0开始，反复代入，才会逐步累积有限天内灭绝事件并趋向实际概率。因此应取区间内最小不动点。分出小于1的根后，再与目标概率比较，并对p接近1及临界均值的范围单独处理。
把最终灭绝概率记为 ，按第一天产生的后代数分类，得到概率母函数的不动点方程。
解答
后代数的概率母函数为
灭绝概率 是 内方程 的最小根。整理并分解得
当 时，小于 的根为
而 时灭绝概率为 。所以 等价于
即 。故
复核
时不动点恰为 ，且平均后代数 ，它确是小于 的灭绝根。
方法总结
独立分枝过程的最终灭绝率由后代概率母函数的最小不动点给出；阈值问题可直接把目标概率代入不动点关系。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须将最终灭绝概率建为首代后代数的不动点，选择最小根而非总取根1，再处理临界p与概率阈值。
已记下，谢谢！