2012 年中科大少年班初试 · 第 3 题

解答

缩放底面半边长为一，设锥高为 $h>0$。侧棱水平投影长 $\sqrt{2}$，侧面高的水平投影长一，所以 $\tan \alpha =h/\sqrt{2}<\tan \beta =h$，得 $\alpha <\beta <90^{\circ }$。$SB$ 的水平投影沿 $BD$，与 $AC$ 垂直，其竖直分量也与 $AC$ 垂直，故 $\gamma =90^{\circ }$。相邻侧面外法向可取 $(0,h,1),(-h,0,1)$，两外法向夹角余弦为 $1/(h^2+1)>0$；棱锥内部的二面角为其补角，故 $\cos \theta =-1/(h^2+1)<0$，即 $\theta >90^{\circ }$。因此 $\boxed{\alpha <\beta <\gamma <\theta }$，选 B。