2014 年陕西预赛 · 第 10 题

解答

令 $k=\lfloor x\rfloor$，则 $9x^2=30k-20$。右侧非负迫 $k\ge 1$，故 $x>0$。将 $k\le x<k+1$ 平方得

后一式恒成立；前一式的两根为 $(5\pm \sqrt{5})/3$，允许整数仅 $k=1,2$。分别还原为 $x=\sqrt{10}/3,2\sqrt{10}/3$，确实落在 $[1,2),[2,3)$。因此所有元素之和为 $\boxed{\sqrt{10}}$。