同一骨架 2026 年广州预赛 · P006121
两题都先取两个正量的比值以消去尺度，把关键条件压到一个正参数上。比例与尺度的角色要分开：先完成控制比例的极值，再检查其余条件能否恢复为合法原对象。
一题借半角和恒等式把第三个余切平方写成比值式，另一题先确定齐次比值取最大时的比例，再对剩余尺度另作最小化。
培玉 · 一试
2026 年湖南预赛
F3解答题三角函数综合
在 中，若
求 的最小值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
三个半角之和为 ，它们的余切满足一个对称恒等式。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
把 与 的比值作为参数，可直接写出 ； 随后只需用均值不等式求一元式的最小值。
解答
令
三者均为正数。由 ，有
题设又给出
令 ，则 。代入前一恒等式并约去正数 ，得到
因此
由均值不等式，
等号在 时成立。故
又
右端随 严格递增，所以
复核
等号参数 给出的 都为正，并满足两个原始等式，因而对应 一组三角形半角，最小值可达。最后的化简可由交叉相乘直接核对。
方法总结
三角形半角余切常用恒等式 。遇到另一个线性余切关系时，取两个余切的比值可消去尺度， 把第三个余切的平方化为 ，再用均值不等式处理。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
以三半角余切为变量后仍需选比值x/y，将积和关系与线性约束压成20t+42/t，再还原cosC。
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