2021 年江西预赛

正整数数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = a_{2} = a_{3} = 1,

它的任意连续四个项 $a_{n}, a_{n + 1}, a_{n + 2}, a_{n + 3}$ 都满足

a_{n} a_{n + 3} - a_{n + 1} a_{n + 2} = 1.

求证：对于它的任意三个连续项 $a_{n}, a_{n + 1}, a_{n + 2}$ 而言，其首尾两项之和 $a_{n} + a_{n + 2}$ 必是中间一项 $a_{n + 1}$ 的倍数。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F3（会透露解法方向）

对相邻四项式消去常数1后发现三项首尾和与中项比隔两步不变，两个初值2和3保证全部比值为整数。

用到的方法（会透露解法方向）

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