2010 年辽宁预赛 · 第 8 题

解答

设 $u=|\sin x|,v=|\cos x|$，则 $u,v\ge 0$、$u^2+v^2=1$。由 $u+v\ge 1$，得 $2u+3v\ge 2(u+v)\ge 2$；由柯西得 $2u+3v\le \sqrt{13}$。下界在 $(u,v)=(1,0)$ 取得，上界在 $(2/\sqrt{13},3/\sqrt{13})$ 取得。两点都对应第一象限内或边界上的实角，沿该象限圆弧函数连续，因此中间值全部可达。故值域为 $\boxed{[2,\sqrt{13}]}$。