易混 2022 年中科大少年班复试 第 3 题 · P009736
使用导数或极值点讨论根时，必须先分清题目数的是不同交点，还是允许重数的实一次因子。切触会合并不同交点，而代数分解中的重根仍按重数保留，不能由少数驻点草率排除。
前题按水平线位置计不同交点，极值水平和无穷远极限都影响开闭端点；后题一问全域严格正，另一问允许重复实根，常数项为零须独立讨论。
培玉 · 一试
2023 年甘肃预赛
F2填空题导数的应用
已知函数 与 的图像有且只有三个交点，则实数 的取值范围为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
交点方程可写成一条固定函数的水平截线。
思路
求出该函数的两个极值和零点后，按水平线位置计数。
解答
交点满足
求导得
所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增。又
并且
因此水平线 与 恰有三个不同交点，当且仅当
复核
时只有 两个根； 时左侧极值点为重合交点，也只有两个不同交点，故两个端点均不计入。
方法总结
两个含同一指数因子的函数比较时，先移项提取指数因子，把交点个数转成单函数的水平线交点计数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
化为水平线截三段单调函数，特别比较负无穷端趋于0与局部最大值，排除两端参数。
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