同一骨架 2025 年山东预赛 · P006357
把局部不能共存的格子关系画成图后，两题都先处理约束最强的中心，再把剩余关系拆成更小的路径、环或独立部分。这样才能看清哪些选择可以相乘，哪些必须整体计数。
一题选择格子，另一题给格子分颜色；需要控制的都是局部冲突关系。
培玉 · 一试
2026 年贵州预赛
F3填空题概率
有三个红色、三个蓝色、三个绿色共 个形状相同的筹码，将它们放入一个 的方格表中，则使得任意两个颜色相同的筹码互不相邻（两个方格有且仅有 公共边叫相邻）的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
所有按颜色区分的方格填法等可能，总数是多重集排列数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
合法填法中，中心格的同色筹码 只能落在角格；固定这些位置后，另外两种颜色只能沿剩余的外圈路径交替。
解答
把九个方格视为有标号位置，总填法数为
先固定中心格的颜色，有 种选择。与中心同色的另外两个筹码不能放在四个边格，只能 从四个角格中选两个，位置选择有 种。
删去这三个已经着色的格子后，剩下六格用另外两种颜色各填三格。若所选两角相邻， 剩余外圈由一个单格和一条五格路径组成；若所选两角相对，剩余外圈由两条三格路径组成。 在两种情形中，相邻格颜色必须交替，并满足每种颜色恰有三个，均恰有 种填法。 因此合法填法数为
所求概率为
复核
四角中任取两角，只有“相邻”或“相对”两类，上述讨论穷尽。每类的两种填法互为交换 余下两种颜色，且中心颜色与其余格必异色，故没有重复或遗漏。
方法总结
有固定颜色数量的网格概率题，先以多重集排列建立等可能样本空间；计数合法填法时， 优先考察度数最大的中心格，再把剩余相邻关系化成路径或环上的交替染色。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
中心色迫使同色余筹码落在角格，再区分相邻角与对角，按剩余路径的交替着色与数量平衡计数。
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同一骨架 2021 年四川预赛 · P007060
两题都先固定某一种颜色占据的格子，再只对剩余方格的邻接关系计数。局部禁配可拆成小图，指定颜色的位置关系决定剩余图的形状；最后才把各类位置的完成数合并。
一题指定蓝格数量后用其余三色完成；另一题每色数量均固定，剩余两色还须满足库存，最终再除以等可能总数。
已记下，谢谢！