2018 年河北预赛（高三卷） · 第 11 题

解答

（1）过左焦点和短轴顶点的直角三角形给 $b/c=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$，所以 $a^2=4c^2$，$\boxed{e=1/2}$。（2）面积比在整体缩放下不变，可取 $c=1,a=2,b=\sqrt{3}$。令焦弦为 $y=k(x+1)$。水平、竖直方向会使中垂线与一条坐标轴重合，题述交点不唯一且面积比分母不成立，故此处 $k$ 为非零有限实数。记 $d=3+4k^2$，代入椭圆用根和得到弦中点 $G=(-4k^2/d,3k/d)$。中垂线为 $y=-x/k-k/d$，所以 $D=(-k^2/d,0),E=(0,-k/d)$。因 $F=(-1,0)$，由三角形底高计算得 $S_1/S_2=|DF||y_G|/(|x_D{y}_E|)=9(1+k^2)/k^2=9+9/k^2$。非零有限 $k$ 遍历时，这个式子恰取遍 $\boxed{(9,+\infty )}$。