2025 年广西预赛

解答

先证左边的不等式。由基本不等式，

三式相加后除以 $2$，得到

由于所有量为正，这等价于

再证右边的不等式。若 $a,b,c$ 不能作为三角形的三边，则 $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le 0$，而中间的分式为正，结论成立。

以下设三条严格三角不等式均成立，并令

则 $x,y,z>0$，且

由 $4yz\le (y+z{)}^2$ 及其轮换式，

又 $a+b+c=2(x+y+z)$，故

结合 (1)、(2)，原不等式链得证。