2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 11 题

解答

设圆心为 $(0,t)$、半径为 $R>0$。将双曲线方程 $x^2=y^2+1$ 代入圆方程，得到

每个实根 $y$ 都恰好对应双曲线两支上的两个点 $(\pm \sqrt{1+y^2},y)$。 故圆与两支各恰有一个公共点，当且仅当这个二次方程有一个实根，即判别式为零。 于是好圆恰为

现设两个好圆的圆心为 $(0,t_1),(0,t_2)$，其中 $t_1>t_2$，外切点为 $P=(0,p)$。 外切点位于两圆心之间，故两圆的半径分别为 $t_1-p$、$p-t_2$。 由 (1)，$t_1,t_2$ 均满足

两根之差即为圆心距，因此

为核查构型存在，任取实数 $p$，令 $t_{\pm }=2p\pm \sqrt{2p^2+2}$。 由于 $\sqrt{2p^2+2}>|p|$，有 $t_{-}<p<t_{+}$。按 (1) 取这两个好圆， 其半径为 $t_{+}-p$ 和 $p-t_{-}$，两半径之和等于圆心距，所以它们确在 $(0,p)$ 外切。

取常数 $\lambda =2\sqrt{2}$、定点 $A=(1,0)$，则对任意一对外切好圆，由 (2) 有

因此所求常数与定点存在，例如 $\boxed{\lambda =2\sqrt{2},A=(1,0)}$。 也可以取 $A=(-1,0)$。