同一骨架 2026 年甘肃预赛 · P005990
两题都把两个正弦的平方差拆成和角与差角的乘积，再用三角形角和使其中一个因子与已有正弦相同。约去这个正因子后，原来的边角混合条件显露为角差约束。
一个先由边的齐次式用正弦定理转到角，另一个先从角式出发，再将边长等差条件转为正弦关系；进入同一骨架的顺序不同。
培玉 · 一试
2013 年天津预赛 · 第 12 题
F2填空题三角函数初步
在 中，，且 ，则内角 等于（用度数作答）。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
边的齐次二次关系适合用正弦定理转成角。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
平方正弦之差可以分解成和角、差角的正弦，再利用三角形角和消去一个因子。
解答
由正弦定理，已知边关系等价于
而
由于三角形内角 ，，可约去得 。在 内，候选为 或 。由 ，排除前者，故 ，于是
复核
所得三个角均为正、和为 ，且差 。反向利用同一平方正弦恒等式， 成立，按正弦定理可还原原边关系。
方法总结
三边的齐次式可借正弦定理变成三角恒等式。解正弦方程时，锐角与补角两种分支都须列出，再用内角范围筛选。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
三边齐次关系先借正弦定理转成角关系，平方正弦差用和差角恒等式消元；约去正的内角正弦后，要列尽正弦相等的两支，再用内角严格范围筛掉退化支。
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