2018 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 10 题

F3解答题数列综合

已知实数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ 满足：对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n} (2 S_{n} - a_{n}) = 1$ ，其中 $S_{n}$ 表示数列的前 $n$ 项和。证明：（1）对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n} < 2 n$ ；（2）对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n} a_{n + 1} < 1$ 。