2026 年内蒙古预赛

解答

给出的渐近线斜率为正，故 $a>1$。双曲线可写成

其上顶点为

正斜率渐近线的斜率为

$\lambda (a)$ 在 $a>1$ 上递增，两个端点分别对应 $a=2,3$，故

焦点为 $(0,1)$、顶点为 $M=(0,m)$ 且开口向下，故 $m>1$，其方程为

另一方面，把 $y=-x$ 代入双曲线，得 $x^2=a^2$，所以有两个交点

先取上方交点 $P=P_{-}=(-a,a)$，并记直线 $P_{-}M$ 的斜率为

把 $P_{-}$ 代入 (2)，得

因此 $m>a$，从而 $s>0$。由 $m=a(1+s)$ 并约去 $a^2$，上式化为

当 $a$ 增大时，$1-1/a$ 增大；而 (3) 右边对两个正变量都严格递增，故满足 (3) 的正根 $s$ 随 $a$ 增大而减小。由 (1)，这一分支的最大斜率在 $a=2$ 处取得。 此时

所以

再取下方交点 $P=P_{+}=(a,-a)$。令

则直线 $P_{+}M$ 的斜率为 $-t$。把 $P_{+}$ 代入 (2)，并约去 $a^2$，得

其正根可写为

它随 $a$ 增大而减小，所以斜率 $-t$ 随 $a$ 增大而增大，在 $a=3$ 时达到这一分支的 最大值

它小于 (4) 的正值。因此，按题面允许两个交点均作为 $P$ 时，所有配置中的最大斜率为