2014 年黑龙江预赛 · 第 16 题

解答

区间内 $x>0$，原方程等价于 $k=h(x):=\ln x/x^2$。 求导得

因此 $h$ 在 $[1/e,\sqrt{e}]$ 严格递增，在 $[\sqrt{e},e]$ 严格递减，且

两段的值域分别是 $[-e^2,1/(2e)]$ 与 $[1/e^2,1/(2e)]$。 若 $1/e^2\le k<1/(2e)$，每段各有唯一交点，且两点分居峰值点两侧，恰有两个不同实数解。 当 $k=1/e^2$ 时右侧交点是允许的端点 $e$；当 $k=1/(2e)$ 时两交点合并为 $\sqrt{e}$，只能算一个。 若 $k<1/e^2$，右侧段没有交点，左侧段至多一个；若 $k>1/(2e)$ 则没有交点。 所以完整范围为 $\boxed{[1/e^2,1/(2e))}$。