2026 年上海预赛

思路

坐标面积、平方恒等式和一元单调性为初等工具；分奇偶不是形式分类，而是保证反求边长时除以2仍为整数。

想法从哪来：先按直角折线搭坐标，别从普通等周公式直接猜最优形状。 周长与面积写成边长式后，先试配出“横向总长减纵向总长”的平方，剩下的正项记录凹口损失。加上整数边长时，再尝试把总和 $T$ 换成 $T-1$，利用每条边至少为1获得更强的缺口估计。 存在性构造应反向设计面积为平方。偶数目标可试 $a=b=1$，令剩下的表达式凑成平方；奇数目标试 $a=c=1$，此时面积 $b+2d$ 是线性的。把 $\sqrt{S}$ 先记为整数 $t$，由周长和面积两式解出 $b,d$，再选 $t$ 的奇偶使它们为正整数。

五个直角和一个凹角把六边形确定为一个直角折角形。建立坐标后，另外两边长度以及 $l,S$ 都能用 $a,b,c,d$ 表示。第一问化为一个严格平方和；第二问利用整数性建立 比普通等周不等式更强的缺口；第三问分别按 $n$ 的奇偶给出可直接验算的整数构造。