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三角恒等变形

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三角恒等变形知识图谱

在合法角度与取值范围内选择恒等变形，解出后逐支回代。

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本专题核心公式速查

互动实验：单位圆与三角形中心

三角恒等变形的难处是认出适合目标的接口，而不是展开得越多越好。和差角、和差化积、倍角与多项式递推都能把复杂角式压缩成少数变量；角域、原分母与完整分支则决定这些变形是否等价。完成化简后，再按实际目标选择求值、数根或排列正解。

先修（培玉高中数学）：三角函数的概念诱导公式三角恒等变换三角函数的图象与性质

知识要点

先让已知角与目标角对齐

和差角公式应围绕目标来用： $cos (u - v) = cos u cos v + sin u sin v$ ，而和角的交叉项为减号。例如 $cos 7 5^{\circ} = cos (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = (6 - 2) /4$ 。若目标角能由两个已知角相加或相减得到，应先写出这条角关系，再补齐带正确象限符号的正弦、余弦。

换成正切之前先证明分母非零

关系 $A sin t + B cos t = 0$ 可用来确定方向，但不能无条件除以 $cos t$ 。例如 $sin t + cos t = 0$ 时，若 $cos t = 0$ 则 $sin t = \pm 1$ ，会与原式矛盾，所以此处才能推出 $tan t = - 1$ 。化简后的表达式即使在更多点有定义，也必须沿用原式的定义域。

和差化积与积化和差互为接口

乘积可化为和，例如 $2 sin u sin v = cos (u - v) - cos (u + v)$ ；和也能反向合并，例如 $sin u + sin v = 2 sin ((u + v) /2) cos ((u - v) /2)$ 。具体地， $sin 1 0^{\circ} + sin 5 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}$ 。寻找成对角的平均数和半差，比逐项代近似值更容易看出精确抵消。

二次、三次与四次幂先降到合适阶数

平方可用 $sin^{2} t = (1 - cos 2 t) /2$ ，立方可用 $sin^{3} t = (3 sin t - sin 3 t) /4$ ，四次幂可用 $sin^{4} t = (3 - 4 cos 2 t + cos 4 t) /8$ 。例如在 $t = π /6$ 时，四次公式给 $1/16$ 。二元正弦二次式若能配成平方和，零值还会迫使每个平方分别为零；不要为降幂而引入更多独立角。

倍角余弦由一个变量递推生成

由和差角公式， $T_{0} (z) = 1, T_{1} (z) = z$ ， $T_{n + 1} (z) = 2 z T_{n} (z) - T_{n - 1} (z)$ ，并有 $T_{n} (cos t) = cos n t$ 。例如 $cos t = 1/3$ 时， $cos 2 t = - 7/9$ 、 $cos 3 t = - 23/27$ ，都是有理数。用递推处理大下标组合或有理性，比实际求出角 $t$ 更直接。

非负根式与半和半差都要带范围

在确认 $x \in [0, 1]$ 后，令 $x = sin^{2} a$ 、 $a \in [0, π /2]$ ，才有 $x = sin a$ 、 $1 - x = cos a$ 。例： $x = 1/4$ 对应 $a = π /6$ ， $x (1 - x) = 3 /4$ 。双角和式可再用 $S = (a + b) /2, D = (a - b) /2$ 合并；取平方可能丢失 $cos D$ 等量的符号，最后须回原条件。

三角形角域能筛分支，却不能凭外形跳过分支

内角满足 $A, B, C > 0$ 与 $A + B + C = π$ 。例如 $sin A + cos A = sin B + cos B$ 并不总能推出 $A = B$ ： $A = 3 0^{\circ}, B = 6 0^{\circ}$ 就使两边相等。和差化积给出的每个零因子都要检查，再利用原条件排除不合分支。约去内角正弦合法，是因为非退化三角形中它严格为正；余弦则可能为零。

通解排列与周期内部间隔是两件事

先列完整通解，再取正数并按大小合并，才能计算前若干解之和。例如 $sin x = 1/2$ 的前四个正解为 $π /6, 5 π /6, 13 π /6, 17 π /6$ ，和为 $6 π$ 。两族分别是等差数列，并不意味着合并后仍为等差数列；必须同时核周期内与周期间的间隔，并检查零解或负首项是否应删去。

方法卡

角之间差一个固定值：先写清角的关系，再用和差角公式

目标角常常是已知角加减一个固定角。先把这个关系写出来，展开后用 $sin^{2} + cos^{2} = 1$ 联立。补三角值时由角的范围定正负，要除以某个三角值时先确认它不为 $0$ 。

完整讲解 · 例题 · 可练 18 题

一、是什么

记号和常用值

和差角公式

公式： $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ 。理由：单位圆上两点 $(cos a, sin a), (cos b, sin b)$ 的距离平方是 $2 - 2 (cos a cos b + sin a sin b)$ ；把两点一起转 $- b$ ，变成 $(cos (a - b), sin (a - b)), (1, 0)$ ，距离不变，距离平方是 $2 - 2 cos (a - b)$ 。比较两式就得公式。把 $b$ 换成 $- b$ ，并用 $cos (- b) = cos b, sin (- b) = - sin b$ ，得 $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ 。再用 $sin u = cos (9 0^{\circ} - u)$ ，得 $sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ 。令 $a = b = x$ 还得 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ 。验算： $sin (3 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = 1$ 。

角的关系要先写出来

已知 $x + 3 0^{\circ}$ 的三角值，要求 $x$ 的三角值时，写 $x = (x + 3 0^{\circ}) - 3 0^{\circ}$ ，把 $x + 3 0^{\circ}$ 看成一个整体 $u$ ，就是 $cos x = cos (u - 3 0^{\circ})$ 。这样不必求 $u$ 本身。

已知正弦，余弦的正负由范围决定

由 $sin u = \frac{3}{5}$ 得 $cos^{2} u = \frac{16}{25}$ ， $cos u = \pm \frac{4}{5}$ ，正负要看 $u$ 在哪里。在第一象限 $(0, \frac{π}{2})$ 正弦和余弦都为正；在第二象限 $(\frac{π}{2}, π)$ 正弦为正、余弦为负。题目不给范围时，两种都要留着。

线性关系：看方向，共同的正负号可以约掉

设 $a, b$ 不全为 $0$ ， $R = a^{2} + b^{2}$ 。 $a sin x = b cos x$ 说明单位圆上的点 $(cos x, sin x)$ 和点 $(a, b)$ 在过原点的同一条直线上，所以 $cos x = \pm \frac{a}{R}, sin x = \pm \frac{b}{R}$ ，两个符号同时取正或同时取负。两个分支对应方向相反的角，而 $sin x cos x = \frac{ab}{R ^{2}}$ ，正负号相乘后消失。退化情形也符合： $a = 0$ 时 $cos x = 0$ ， $b = 0$ 时 $sin x = 0$ ，乘积都是 $0$ 。若 $a = b = 0$ ，等式对所有 $x$ 成立， $sin x cos x$ 就没有确定的值。

先看一道例题

例 1：差一个固定角

已知 $x \in (0, \frac{π}{3})$ ， $sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ 。求 $sin x$ 。

怎么看出来：

$x$ 和 $x + \frac{π}{6}$ 差固定角 $\frac{π}{6}$ ，把后者当整体，不求 $x$ 本身。

解：

设 $u = x + \frac{π}{6}$ ，由 $x \in (0, \frac{π}{3})$ 得 $u \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，在第一象限，所以 $cos u = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ 。 $sin x = sin (u - \frac{π}{6}) = sin u cos \frac{π}{6} - cos u sin \frac{π}{6} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 3 - 4}{10}$ 。检查： $\frac{3 3 - 4}{10} \approx 0.12$ ，为正，且 $sin x < sin \frac{π}{3}$ ，和 $x \in (0, \frac{π}{3})$ 相符。

答案：

$\frac{3 3 - 4}{10}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
已知角和目标角差一个固定角，如 $x + \frac{π}{6}$ 和 $x$	写 $x = (x + \frac{π}{6}) - \frac{π}{6}$ ，再展开
已知一个三角值并给了角的范围	先定象限，再由平方关系补另一个值的正负
等式两边都是同一个角的正弦、余弦的一次式	展开后整理成 $sin x$ 和 $cos x$ 的比例
两个复合角的正切，目标是它们的和或差	用正切差角公式（见进阶“正切与平移”）
系数是 $3$ 、 $1$ 这类数	提出 $2$ ，把系数看成特殊角的三角值（见进阶“特殊系数”）

三、怎么用

写出目标角和已知角的关系。已知 $sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，求 $cos x$ ，写 $x = u - \frac{π}{6}$ ，其中 $u = x + \frac{π}{6}$ 。
由范围定已知角所在象限。若 $x \in (0, \frac{π}{3})$ ，则 $u \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，在第一象限。
补另一个三角值。 $cos^{2} u = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ ， $u$ 在第一象限，所以 $cos u = \frac{4}{5}$ 。
代入和差角公式。 $cos x = cos u cos \frac{π}{6} + sin u sin \frac{π}{6} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 3 + 3}{10}$ 。
检查范围和大小。 $x \in (0, \frac{π}{3})$ 时 $cos x \in (\frac{1}{2}, 1)$ ，而 $\frac{4 3 + 3}{10} \approx 0.99$ ，符合。

四、再做一道

例 2：比较两个式子：展开后看符号

已知 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 。求使 $sin (x + \frac{π}{6}) > cos (x - \frac{π}{6})$ 成立的 $x$ 的范围。

怎么看出来：

展开后两边都是 $sin x, cos x$ 的一次式，移到一边再提公因式，大小就由 $sin x$ 和 $cos x$ 的大小决定。

解：

展开：左边 $= \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x$ ，右边 $= \frac{3}{2} cos x + \frac{1}{2} sin x$ 。左边减右边 $= \frac{3 - 1}{2} (sin x - cos x)$ 。系数 $\frac{3 - 1}{2} > 0$ ，所以不等式等价于 $sin x > cos x$ 。在第一象限，单位圆上的点纵坐标大于横坐标，就是点在直线 $y = x$ 上方，也就是 $x > \frac{π}{4}$ 。检查： $x = \frac{π}{3}$ 时左边 $= 1$ ，右边 $= \frac{3}{2}$ ，成立； $x = \frac{π}{6}$ 时左边 $= \frac{3}{2}$ ，右边 $= 1$ ，不成立； $x = \frac{π}{4}$ 时两边都等于 $sin 7 5^{\circ}$ ，不成立。

答案：

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ 。

五、容易错在哪

$sin x = 2 cos x$ 有方向相反的两个分支，但 $sin 2 x$ 只有一个值，不要写成两个答案。如果目标是 $sin x$ 本身，两个分支就要都写。
已知正弦时，余弦不一定为正，要由角的范围判断。
固定角平移时符号容易写反： $x = u - \frac{π}{6}$ 时，余弦展开是加号，正弦展开是减号。
用正切公式前，要确认分母不为 $0$ ，并且涉及的正切都有意义。
同除以 $cos A cos B$ 之前，要确认它不为 $0$ ，否则要单独讨论。

进阶：正切与平移 · 先修：本卡基础部分

正切差角

$tan (a - b) = \frac{tan a - tan b}{1 + tan a tan b}$ ，把 $sin (a - b), cos (a - b)$ 展开后分子分母同除以 $cos a cos b$ 得到。要求 $cos a, cos b$ 不为 $0$ ，且 $1 + tan a tan b \neq = 0$ 。 $1 + tan a tan b = 0$ 时 $cos (a - b) = 0$ ，此时 $tan (a - b)$ 无意义。把 $b$ 换成 $- b$ 得 $tan (a + b) = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a tan b}$ ，条件同样要满足。

角差 $\frac{π}{2}$ ：符号不要写反

$sin (x + \frac{π}{2}) = cos x$ ， $cos (x + \frac{π}{2}) = - sin x$ ，都由和角公式代入 $sin \frac{π}{2} = 1, cos \frac{π}{2} = 0$ 得到。于是 $sin x \neq = 0$ 时 $tan (x + \frac{π}{2}) = - \frac{cos x}{sin x}$ ，等于 $- \frac{1}{tan x}$ （还要求 $cos x \neq = 0$ ）。例如 $tan x = 2$ 时， $tan (x + \frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$ 。两个公式的分母要分开看： $a - b = \frac{π}{2} + nπ$ （ $n$ 是整数）时，差角公式的分母 $1 + tan a tan b = 0$ ； $a + b = \frac{π}{2} + nπ$ 时，和角公式的分母 $1 - tan a tan b = 0$ 。这时对应的正切无意义，要用这组公式改写另一个角。

例 3：正切差角何时无意义

设 $tan B = 2, tan A = t$ ， $t$ 是实数。 $t$ 取何值时 $tan (A - B)$ 无意义？ $t$ 取何值时 $tan (A - B) = 1$ ？

怎么看出来：

差角公式的分母含 $t$ ，分母为 $0$ 就是无意义的情形，别的 $t$ 才能列方程。

解：

这里 $cos A, cos B$ 都不为 $0$ 。 $cos (A - B) = cos A cos B (1 + tan A tan B) = cos A cos B (1 + 2 t)$ ，所以 $tan (A - B)$ 无意义当且仅当 $1 + 2 t = 0$ ，即 $t = - \frac{1}{2}$ 。 $t \neq = - \frac{1}{2}$ 时， $tan (A - B) = \frac{t - 2}{1 + 2 t}$ 。令它等于 $1$ ： $t - 2 = 1 + 2 t$ ， $t = - 3$ ，它不等于 $- \frac{1}{2}$ ，可用。代回： $\frac{- 3 - 2}{1 - 6} = 1$ 。

答案：

$t = - \frac{1}{2}$ 时无意义； $t = - 3$ 时 $tan (A - B) = 1$ 。

例 4：由范围定符号，再求角

$α, β$ 都是锐角， $cos α = \frac{1}{7}, cos (α + β) = - \frac{11}{14}$ 。求 $β$ 。

怎么看出来：

$β = (α + β) - α$ 。要定 $α + β$ 的正弦的正负，看它在 $(0, π)$ 内。

解：

$α$ 是锐角， $sin α = 1 - \frac{1}{49} = \frac{4 3}{7}$ 。 $α + β \in (0, π)$ ，正弦为正，所以 $sin (α + β) = 1 - \frac{121}{196} = \frac{5 3}{14}$ 。于是 $cos β = cos (α + β) cos α + sin (α + β) sin α = - \frac{11}{98} + \frac{60}{98} = \frac{1}{2}$ 。 $β$ 是锐角，所以 $β = \frac{π}{3}$ 。

答案：

$β = \frac{π}{3}$ 。

进阶：特殊系数 · 先修：本卡基础部分

特殊系数和比值条件

系数看着复杂时，常是特殊角的两倍： $cos x + 3 sin x = 2 (\frac{1}{2} cos x + \frac{3}{2} sin x) = 2 cos (x - 6 0^{\circ})$ 。和角与差角的比值条件，交叉相乘后展开，把 $cos A cos B$ 项和 $sin A sin B$ 项（或 $sin A cos B$ 项和 $cos A sin B$ 项）分别合并。除以某一项之前先确认它不为 $0$ ，这样就得到正切的积或比。

例 5：特殊系数合成一项

化简 $sin 5 0^{\circ} (1 + 3 tan 1 0^{\circ})$ 。

怎么看出来：

括号里通分后分子是 $cos 1 0^{\circ} + 3 sin 1 0^{\circ}$ ，系数 $1, 3$ 是 $2 cos 6 0^{\circ}, 2 sin 6 0^{\circ}$ 。

解：

$1 + 3 tan 1 0^{\circ} = \frac{cos 1 0 ^{\circ} + 3 sin 1 0 ^{\circ}}{cos 1 0 ^{\circ}} = \frac{2 cos ( 6 0 ^{\circ} - 1 0 ^{\circ} )}{cos 1 0 ^{\circ}} = \frac{2 cos 5 0 ^{\circ}}{cos 1 0 ^{\circ}}$ 。乘上 $sin 5 0^{\circ}$ ：分子 $2 sin 5 0^{\circ} cos 5 0^{\circ} = sin 10 0^{\circ}$ 。 $sin 10 0^{\circ} = sin (9 0^{\circ} + 1 0^{\circ}) = cos 1 0^{\circ}$ ，所以结果是 $1$ 。

答案：

$1$ 。

真题

按这个方法练 · 18 题

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特殊角的乘积或和式：配对，用积化和差和和差化积

几个角之间有固定的和、差或互余关系时，先给它们配对。乘积写成和，和写成积，让非特殊的角消掉。每一步都保留精确值，别用近似数判断抵消。

完整讲解 · 例题 · 可练 29 题

一、是什么

记号和常用值

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发转动角 $x$ （逆时针为正， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ ，并规定 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ （要求 $cos x \neq = 0$ ）。由勾股定理， $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ，这里 $sin^{2} x$ 表示 $(sin x)^{2}$ 。常用值： $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ， $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ， $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ，它们来自含 $3 0^{\circ}$ 或 $4 5^{\circ}$ 的直角三角形。还常用： $sin (9 0^{\circ} - x) = cos x$ ， $cos (9 0^{\circ} - x) = sin x$ ， $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ ， $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ 。例如 $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ 。

和差角公式

积化和差：乘积变成和

把和角、差角公式相加减： $sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)]$ ， $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a + b) + cos (a - b)]$ ， $sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]$ 。这组叫积化和差。每个式子前面都有 $\frac{1}{2}$ 。两个角的差是特殊角时，差角那一项就成了数。例如 $a - b = 6 0^{\circ}$ 时， $sin a cos b = \frac{1}{2} sin (a + b) + \frac{3}{4}$ 。验算： $a = 6 0^{\circ}, b = 0^{\circ}$ 时两边都是 $\frac{3}{2}$ 。

和差化积：和变成乘积

在积化和差里令 $A = a + b, B = a - b$ ，得 $sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ ， $cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ ， $cos A - cos B = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ 。“平均角”和“半差”是关键。例如 $cos 8 0^{\circ} + cos 4 0^{\circ} = 2 cos 6 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}$ 。

怎么配对

不一定按写的顺序。看哪两个角的平均角或半差是特殊角。 $cos 10 0^{\circ}$ 和 $cos 14 0^{\circ}$ 的平均角是 $12 0^{\circ}$ ，半差是 $2 0^{\circ}$ ，配在一起会出现 $cos 12 0^{\circ}$ 。

先看一道例题

例 1：配对使一项抵消

化简 $cos 2 0^{\circ} + cos 10 0^{\circ} + cos 14 0^{\circ}$ 。

怎么看出来：

按写的顺序配对得不到特殊角，而 $10 0^{\circ}, 14 0^{\circ}$ 的平均角是 $12 0^{\circ}$ 。

解：

$cos 10 0^{\circ} + cos 14 0^{\circ} = 2 cos 12 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}$ 。 $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ ，所以这一对等于 $- cos 2 0^{\circ}$ 。加上 $cos 2 0^{\circ}$ 得 $0$ 。检查： $0.9397 - 0.1736 - 0.7660 \approx 0$ 。

答案：

$0$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
几个余弦或正弦相加，且某两个角的平均角是特殊角	这两个配对，用和差化积
两个三角值相乘，乘积的和角、差角里有特殊角	用积化和差
含字母的积，旁边有一项的角正好是这两个角的和	用积化和差。只有角和系数都匹配时，这一项才会抵消
公差相同的一串正弦或余弦相加	同乘半公差的正弦（见进阶“抵消求和”）
互余的角、平方项混在一起	先统一角，再降幂（见进阶“分式与互余”）

三、怎么用

统一符号和互余角。例如化简 $cos 8 0^{\circ} + cos 4 0^{\circ} - cos 2 0^{\circ}$ ，这里已是余弦，不需要统一。
找配对。 $8 0^{\circ}$ 和 $4 0^{\circ}$ 的平均角 $6 0^{\circ}$ 是特殊角，半差是 $2 0^{\circ}$ 。
用公式。 $cos 8 0^{\circ} + cos 4 0^{\circ} = 2 cos 6 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}$ 。
代入特殊值，看抵消。 $2 \cdot \frac{1}{2} cos 2 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}$ ，减去 $cos 2 0^{\circ}$ 后得 $0$ 。
用近似值检查。 $0.1736 + 0.7660 - 0.9397 \approx 0$ ，一致。

四、再做一道

例 2：含字母时用积化和差

化简 $2 cos (x + \frac{π}{3}) cos x - cos (2 x + \frac{π}{3})$ 。

怎么看出来：

前面的乘积写成和之后，和角正好是 $2 x + \frac{π}{3}$ ，能和后面一项抵消。

解：

由 $2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)$ ，取 $a = x + \frac{π}{3}, b = x$ ： $2 cos (x + \frac{π}{3}) cos x = cos (2 x + \frac{π}{3}) + cos \frac{π}{3}$ 。减去 $cos (2 x + \frac{π}{3})$ ，剩下 $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ 。检查： $x = 0$ 时 $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 。

答案：

$\frac{1}{2}$ ，对所有 $x$ 成立。

五、容易错在哪

积化和差前面有 $\frac{1}{2}$ ，容易漏； $sin a sin b$ 的两项是 $cos (a - b)$ 减 $cos (a + b)$ ，顺序别写反。
只按题目写的顺序配对，常常配不出特殊角。先看每两个角的平均角和半差。
补角的余弦是负的： $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ}$ ，这个负号决定能不能抵消。
约去公因式后，化简结果的范围要用原式的范围，不能把原式没意义的点算进去。
乘了 $2 sin x$ 再除回去时， $sin x = 0$ 的点要单独考虑。这时和式 $sin x + sin 3 x + sin 5 x$ 等于 $0$ 。

进阶：抵消求和 · 先修：本卡基础部分

等差的一串角：乘一个正弦再抵消

$sin x, sin 3 x, sin 5 x$ 这样公差为 $2 x$ 的和，同乘 $2 sin x$ ，每一项按积化和差写成两项之差，中间相互抵消。除回去之前要确认 $sin x \neq = 0$ 。

例 3：乘一个正弦，再抵消

设 $sin x \neq = 0$ ，化简 $sin x + sin 3 x + sin 5 x$ 。

怎么看出来：

公差是 $2 x$ ，同乘 $2 sin x$ ，每项都写成两项之差。

解：

$2 sin x sin x = 1 - cos 2 x$ ， $2 sin 3 x sin x = cos 2 x - cos 4 x$ ， $2 sin 5 x sin x = cos 4 x - cos 6 x$ 。相加，中间项抵消： $1 - cos 6 x = 2 sin^{2} 3 x$ ，最后一步用 $sin^{2} u = \frac{1 - cos 2 u}{2}$ ， $u = 3 x$ 。除以 $2 sin x$ （不为 $0$ ）得 $\frac{sin ^{2} 3 x}{sin x}$ 。检查： $x = \frac{π}{6}$ 时左边 $\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2$ ，右边 $\frac{1}{1/2} = 2$ 。

答案：

$\frac{sin ^{2} 3 x}{sin x}$ 。

进阶：分式与互余 · 先修：本卡基础部分

和差化积后约公因式

分子分母都是和式时，常出现共同的因式。约分前要记下它不为 $0$ 。被约去的因式在分母里，它为 $0$ 的点原式没有意义，不能写进化简结果的范围。

互余和降幂

先用 $cos 7 0^{\circ} = sin 2 0^{\circ}$ 这样的关系把角统一。由 $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ （在 $cos (a + b)$ 中令 $a = b = x$ ，再用 $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ ），得 $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ ，平方也能写成和。

例 4：和差化积后约分

化简 $\frac{sin 3 x + sin x}{cos 3 x + cos x}$ ，并写出它成立的范围。

怎么看出来：

分子分母的平均角都是 $2 x$ ，半差都是 $x$ ，会出现共同的 $cos x$ 。

解：

分子 $= 2 sin 2 x cos x$ ，分母 $= 2 cos 2 x cos x$ 。原式要求分母不为 $0$ ，即 $cos 2 x \neq = 0$ 且 $cos x \neq = 0$ 。在这个范围内约去 $2 cos x$ ，得 $\frac{sin 2 x}{cos 2 x} = tan 2 x$ 。注意 $tan 2 x$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 处是 $tan π = 0$ ，有意义，但原式在这里分母为 $0$ ，所以这个点要排除。检查： $x = \frac{π}{12}$ 时原式 $\approx 0.5774$ ， $tan \frac{π}{6} \approx 0.5774$ 。

答案：

$tan 2 x$ ，其中 $cos x \neq = 0$ 且 $cos 2 x \neq = 0$ 。

例 5：互余统一，再求范围

已知 $x \in [0, \frac{π}{6}]$ ，求 $y = sin x cos (\frac{π}{2} - x) + sin (\frac{π}{2} - x) cos (x + \frac{π}{3})$ 的取值范围。

怎么看出来：

先用互余把 $\frac{π}{2} - x$ 去掉，得到一个平方和一个积。降幂和积化和差后都是 $2 x$ 的角，再用和差化积合成一项。

解：

$cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ ， $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ ，所以 $y = sin^{2} x + cos x cos (x + \frac{π}{3})$ 。第一项 $= \frac{1 - cos 2 x}{2}$ 。第二项 $= \frac{1}{2} [cos (2 x + \frac{π}{3}) + cos \frac{π}{3}] = \frac{1}{2} cos (2 x + \frac{π}{3}) + \frac{1}{4}$ 。相加： $y = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} [cos (2 x + \frac{π}{3}) - cos 2 x]$ 。由和差化积，方括号 $= - 2 sin (2 x + \frac{π}{6}) sin \frac{π}{6} = - sin (2 x + \frac{π}{6})$ 。所以 $y = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{6})$ 。 $x \in [0, \frac{π}{6}]$ 时 $2 x + \frac{π}{6} \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ ，这一段上点沿圆向上走，正弦从 $\frac{1}{2}$ 增到 $1$ 。于是 $y$ 从 $\frac{1}{2}$ 降到 $\frac{1}{4}$ 。检查： $x = 0$ 时 $y = 0 + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ； $x = \frac{π}{6}$ 时 $y = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} \cdot 0 = \frac{1}{4}$ 。

答案：

$[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ 。

真题

按这个方法练 · 29 题

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三角的平方、立方、四次方：降次或配方，只算需要的量

高次三角式先看能否写成一个变量的低次式：平方关系换成单一变量，高次用倍角降下去，二元的配成平方和。平方过后回到一次量时，要由范围和原式定正负。

完整讲解 · 例题 · 可练 49 题

一、是什么

记号和常用值

二倍角和降幂公式

公式： $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ 。理由：单位圆上两点 $(cos a, sin a), (cos b, sin b)$ 的距离平方是 $2 - 2 (cos a cos b + sin a sin b)$ ；把两点一起转 $- b$ ，变成 $(cos (a - b), sin (a - b)), (1, 0)$ ，距离不变，距离平方是 $2 - 2 cos (a - b)$ 。比较两式就得公式。把 $b$ 换成 $- b$ ，并用 $cos (- b) = cos b, sin (- b) = - sin b$ ，得 $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ 。再用 $sin u = cos (9 0^{\circ} - u)$ ，得 $sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ 。在和角公式中令 $a = b = x$ ，得 $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$ ， $sin 2 x = 2 sin x cos x$ 。把 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 代入： $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1$ 。反过来， $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ ， $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ 。例如 $cos^{2} 1 5^{\circ} = \frac{1 + cos 3 0 ^{\circ}}{2} = \frac{2 + 3}{4}$ 。

和、差、积互相转换

设 $s = sin x, c = cos x$ 。 $(s + c)^{2} = 1 + 2 sc$ ， $(s - c)^{2} = 1 - 2 sc$ 。知道 $s + c$ 就知道 $sc$ 。再用 $s^{2} + c^{2} = 1$ ： $s^{4} + c^{4} = (s^{2} + c^{2})^{2} - 2 s^{2} c^{2} = 1 - 2 (sc)^{2}$ ， $s^{3} + c^{3} = (s + c) (s^{2} - sc + c^{2}) = (s + c) (1 - sc)$ 。

平方后回到一次量，正负要另定

$(s + c)^{2} = \frac{49}{25}$ 只说明 $s + c = \pm \frac{7}{5}$ 。若已知 $x$ 是锐角， $s, c$ 都为正，才能取 $\frac{7}{5}$ 。所以平方前后要记下角的范围。

化成单一变量时，变量有范围

设 $t = sin x$ 后， $t$ 只能在 $[- 1, 1]$ 内。这就决定了二次式的最大值和最小值要在这个范围里找，顶点不在范围内时就到端点。

先看一道例题

例 1：由差求和与积

已知 $sin x - cos x = \frac{1}{5}$ ，且 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 。求 $sin x + cos x$ 和 $sin x cos x$ 。

怎么看出来：

差的平方给出 $sin x cos x$ ，和的平方再由它得到。锐角决定和的正负。

解：

$\frac{1}{25} = 1 - 2 sin x cos x$ ，所以 $sin x cos x = \frac{12}{25}$ 。 $(sin x + cos x)^{2} = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$ 。 $x$ 是锐角， $sin x, cos x$ 都为正，所以 $sin x + cos x = \frac{7}{5}$ 。检查：和差联立得 $sin x = \frac{4}{5}, cos x = \frac{3}{5}$ ， $\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ ，积 $\frac{12}{25}$ 。

答案：

$sin x + cos x = \frac{7}{5}, sin x cos x = \frac{12}{25}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
知道 $sin x + cos x$ 或 $sin x - cos x$	平方得 $sin x cos x$ ，再算需要的高次量
$cos 2 x$ 和 $sin x$ 一起出现	写 $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ ，化成 $sin x$ 的二次式
只有平方，角是倍角的一半	用降幂公式
出现 $4 cos^{3} x - 3 cos x$ 或 $3 sin x - 4 sin^{3} x$	这就是三倍角，先写成 $cos 3 x$ 或 $sin 3 x$ （见进阶“立方与四次”）
两个变量的二次式	分别配方，检查能否同时取到（见进阶“平方和”）

三、怎么用

看目标需要哪些量。例如已知 $sin x + cos x = \frac{1}{2}$ ，求 $sin^{4} x + cos^{4} x$ ，需要的是 $sin x cos x$ 。
用平方关系求这个量。 $\frac{1}{4} = 1 + 2 sin x cos x$ ，所以 $sin x cos x = - \frac{3}{8}$ 。
把目标写成这个量。 $sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 (sin x cos x)^{2}$ 。
代入。 $1 - 2 \cdot \frac{9}{64} = \frac{23}{32}$ 。
检查正负和范围。这里 $(sin x cos x)^{2}$ 不依赖正负，结果唯一。数值核对： $x \approx - 0.424$ 时 $sin x \approx - 0.411, cos x \approx 0.911$ ，四次方之和 $\approx 0.719 \approx \frac{23}{32}$ 。

四、再做一道

例 2：化成单一变量，看范围

求 $y = cos 2 x + 2 sin x$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

$cos 2 x$ 能用 $sin x$ 写，整个式子是 $sin x$ 的二次式。

解：

设 $t = sin x$ ， $t \in [- 1, 1]$ 。 $y = 1 - 2 t^{2} + 2 t = - 2 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}$ 。 $t = \frac{1}{2}$ 在范围内，这时取最大值 $\frac{3}{2}$ ，比如 $x = \frac{π}{6}$ 。平方项越大 $y$ 越小，而范围内 $t = - 1$ 离 $\frac{1}{2}$ 最远，这时 $y = - 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} = - 3$ ，比如 $x = - \frac{π}{2}$ 。检查： $x = - \frac{π}{2}$ 时 $cos (- π) + 2 sin (- \frac{π}{2}) = - 1 - 2 = - 3$ 。

答案：

最大值 $\frac{3}{2}$ ，最小值 $- 3$ 。

五、容易错在哪

$(sin x + cos x)^{2}$ 算出来后开方有两个符号。角的范围或原条件能排除一个符号时才舍去，否则两个都保留。
设 $t = sin x$ 后要写 $t \in [- 1, 1]$ ，否则容易把范围外的顶点当最值。
降幂把角变成两倍，角的种类可能变多。先看降幂后能否抵消或合并，没有帮助就换一种方法。
不需要求角时，不要去求角本身，只算目标需要的代数量。
配方得到下界后，要找出同时取等的角，否则下界可能取不到。

进阶：立方与四次 · 先修：和差角公式

三倍角和立方

由 $cos 3 x = cos (2 x + x)$ 展开并用二倍角公式，得 $cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x$ ；同样 $sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x$ 。因此 $cos^{3} x = \frac{3 cos x + cos 3 x}{4}$ ， $sin^{3} x = \frac{3 sin x - sin 3 x}{4}$ 。验算： $x = 6 0^{\circ}$ 时 $cos^{3} x = \frac{1}{8}$ ，右边 $\frac{3/2 - 1}{4} = \frac{1}{8}$ 。

四次、六次：分两次降

$sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x$ ，再用 $sin^{2} 2 x = \frac{1 - cos 4 x}{2}$ ，得 $\frac{3 + cos 4 x}{4}$ 。 $sin^{6} x + cos^{6} x$ 用立方和： $(s^{2} + c^{2}) (s^{4} - s^{2} c^{2} + c^{4}) = 1 - 3 s^{2} c^{2} = 1 - \frac{3}{4} sin^{2} 2 x$ 。

例 3：认出三倍角，再解方程

求方程 $4 cos^{3} x - 3 cos x = \frac{1}{2}$ 在 $[0, π]$ 上的全部解。

怎么看出来：

左边正是 $cos 3 x$ 的展开式。设 $cos x = t$ 直接解三次方程很难，认出三倍角就变成标准方程。

解：

左边等于 $cos 3 x$ ，所以 $cos 3 x = \frac{1}{2}$ 。横坐标为 $\frac{1}{2}$ 的点有两个，关于横轴对称，所以 $3 x = \pm \frac{π}{3} + 2 nπ$ ， $n$ 是整数。 $x \in [0, π]$ 时 $3 x \in [0, 3 π]$ 。在这个范围内， $3 x$ 只能取 $\frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3}$ 。下一个值 $\frac{11 π}{3}$ 已超过 $3 π$ 。所以 $x = \frac{π}{9}, \frac{5 π}{9}, \frac{7 π}{9}$ 。三次方程至多 $3$ 个不同的 $cos x$ 值，这 $3$ 个解的余弦互不相同，因为 $cos x$ 在 $[0, π]$ 上严格减。

答案：

$x = \frac{π}{9}, \frac{5 π}{9}, \frac{7 π}{9}$ 。

例 4：六次式的值域

求 $y = sin^{6} x + cos^{6} x$ 的值域。

怎么看出来：

用立方和分解，化成 $sin^{2} 2 x$ 的一次式。

解：

$y = 1 - \frac{3}{4} sin^{2} 2 x$ ，因为 $sin^{6} x + cos^{6} x = (sin^{2} x + cos^{2} x) (sin^{4} x - sin^{2} x cos^{2} x + cos^{4} x) = 1 - 3 sin^{2} x cos^{2} x$ ，而 $sin^{2} x cos^{2} x = \frac{1}{4} sin^{2} 2 x$ 。 $sin^{2} 2 x$ 取遍 $[0, 1]$ ，所以 $y$ 取遍 $[\frac{1}{4}, 1]$ 。检查： $x = 0$ 时 $y = 1$ ； $x = \frac{π}{4}$ 时 $y = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ 。

答案：

$[\frac{1}{4}, 1]$ 。

进阶：平方和 · 先修：和差角公式

两条和式：平方相加

把 $sin x + sin y$ 和 $cos x + cos y$ 平方相加，由和差角公式得恒等式 $(sin x + sin y)^{2} + (cos x + cos y)^{2} = 2 + 2 cos (x - y)$ 。两个角就并成了一个角差。因为 $- 1 \leq cos (x - y) \leq 1$ ，这个平方和在 $0$ 到 $4$ 之间。等于 $4$ 时 $x - y = 2 nπ$ ，等于 $0$ 时 $x - y = π + 2 nπ$ ， $n$ 是整数。

二元二次：配成平方和

含 $sin x$ 和 $cos y$ 两个变量的二次式，分别配方。两个平方能同时取到 $0$ 时，配方留下的常数就是最小值，这时要写出对应的 $x, y$ 。不能同时取到时，这个常数只是下界，还要在变量允许的范围内另求最小值。平方和等于 $0$ 时，每一项都等于 $0$ 。

例 5：两个变量配方

求 $sin^{2} x + cos^{2} y - sin x - cos y$ 的最小值。

怎么看出来：

$sin x$ 和 $cos y$ 互不影响，分别配方，再查能否同时取到。

解：

原式 $= (sin x - \frac{1}{2})^{2} + (cos y - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2}$ 。两个平方都非负，所以原式 $\geq - \frac{1}{2}$ 。取 $x = \frac{π}{6}, y = \frac{π}{3}$ ，两个平方同时为 $0$ ，下界能取到。

答案：

$- \frac{1}{2}$ 。

真题

按这个方法练 · 49 题

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倍角余弦：三项递推，乘正弦消去相邻项

相邻下标的余弦满足 $cos (n + 1) t = 2 cos t cos n t - cos (n - 1) t$ ，所以知道 $cos t$ 就能一步步算出后面的值。等间隔的一串角求和时，乘一个不为零的正弦，把每一项变成相邻两项的差，中间全部抵消，只剩首尾。

完整讲解 · 例题 · 可练 5 题

一、是什么

记号和要用的公式

$cos x, sin x$ 是半径为 $1$ 的圆上转角 $x$ 后落点的横、纵坐标， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ 。 $cos n t$ 表示 $cos (n \cdot t)$ 。要用和差角公式 $cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$ ， $sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ ，和 $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ 。

三项递推从哪里来

展开 $cos (n t + t) = cos n t cos t - sin n t sin t$ ， $cos (n t - t) = cos n t cos t + sin n t sin t$ 。相加， $sin$ 的项抵消： $cos (n + 1) t + cos (n - 1) t = 2 cos t cos n t$ 。所以对任何实数 $t$ 和正整数 $n$ 都有 $cos (n + 1) t = 2 cos t cos n t - cos (n - 1) t$ 。起点是 $cos 0 = 1$ 和 $cos t$ 本身。注意下标：等式里相邻 $3$ 项的下标是 $n - 1, n, n + 1$ 。

倍角的余弦是多项式

记 $c = cos t$ 。由递推， $cos 2 t = 2 c \cdot c - 1 = 2 c^{2} - 1$ ， $cos 3 t = 2 c (2 c^{2} - 1) - c = 4 c^{3} - 3 c$ 。验算： $t = 6 0^{\circ}$ 时 $c = \frac{1}{2}$ ， $cos 3 t = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = - 1 = cos 18 0^{\circ}$ 。这样角的问题能变成关于 $c$ 的方程。方程解出的根，要看它是否满足 $- 1 \leq c \leq 1$ 和题目里角的范围，再还原成角。

先看一道例题

例 1：一步步算到目标

$cos t = \frac{1}{3}$ ，求 $cos 4 t$ 。

怎么看出来：

已知 $cos t$ ，要相隔几倍的余弦，直接沿递推算。

解：

这里 $2 cos t = \frac{2}{3}$ 。 $cos 2 t = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} - 1 = - \frac{7}{9}$ 。 $cos 3 t = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{7}{9}) - \frac{1}{3} = - \frac{14}{27} - \frac{9}{27} = - \frac{23}{27}$ 。 $cos 4 t = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{23}{27}) - (- \frac{7}{9}) = - \frac{46}{81} + \frac{63}{81} = \frac{17}{81}$ 。验算：把 $2 t$ 看成一个角， $cos 4 t = 2 cos^{2} 2 t - 1 = 2 \cdot \frac{49}{81} - 1 = \frac{17}{81}$ 。

答案：

$\frac{17}{81}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
相邻倍角的余弦一起出现，如 $cos 3 t, cos 2 t, cos t$	写三项递推，从 $cos 0, cos t$ 一步步算
特殊的倍数关系，如 $3 \cdot 3 6^{\circ} + 2 \cdot 3 6^{\circ} = 18 0^{\circ}$	用递推写成 $c = cos t$ 的方程，因式分解后按范围筛根
等间隔的一串角求和	乘 $2 sin$ （间隔的一半），变成相邻差（见进阶“乘正弦消去”）
问 $cos n t$ 对所有 $n$ 是否都有某种性质	沿递推从前两项传下去（见进阶“沿递推传性质”）
方程左边恰好是 $4 x^{3} - 3 x$ ，且能说明根都在 $[- 1, 1]$ 或已找够根数	设 $x = cos t$ ，变成三角方程。 $∣ x ∣ > 1$ 的根不能这样得到，要另外处理（见进阶“多项式记号”）

三、怎么用

写出起点。例如 $cos t = \frac{1}{2}$ ： $cos 0 = 1$ ， $cos t = \frac{1}{2}$ 。
写出递推式。 $cos (n + 1) t = 2 cos t cos n t - cos (n - 1) t$ ，这里 $2 cos t = 1$ ，所以 $cos (n + 1) t = cos n t - cos (n - 1) t$ 。
按下标从小到大算，每步都用前两个。 $cos 2 t = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$ ， $cos 3 t = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - 1$ 。
找一个已知的角验算。 $t = 6 0^{\circ}$ 满足条件， $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ ， $cos 18 0^{\circ} = - 1$ ，一致。

四、再做一道

例 2：写成方程，再筛根

求 $cos 3 6^{\circ}$ 的值。

怎么看出来：

$3 \cdot 3 6^{\circ} + 2 \cdot 3 6^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ，所以 $cos 10 8^{\circ} = - cos 7 2^{\circ}$ ，两边都能写成 $c = cos 3 6^{\circ}$ 的多项式。

解：

记 $c = cos 3 6^{\circ}$ ，则 $c > 0$ 。由 $cos 3 t = 4 c^{3} - 3 c$ ， $cos 2 t = 2 c^{2} - 1$ ，得 $4 c^{3} - 3 c = - (2 c^{2} - 1)$ ，即 $4 c^{3} + 2 c^{2} - 3 c - 1 = 0$ 。 $c = - 1$ 代入左边是 $- 4 + 2 + 3 - 1 = 0$ ，所以有因式 $c + 1$ ，分解得 $(c + 1) (4 c^{2} - 2 c - 1) = 0$ 。 $c = - 1$ 不满足 $c > 0$ ，舍去。由 $4 c^{2} - 2 c - 1 = 0$ 得 $c = \frac{1 \pm 5}{4}$ ，负的那个舍去。验算： $\frac{1 + 5}{4} \approx 0.809$ ，与 $cos 3 6^{\circ}$ 一致。

答案：

$cos 3 6^{\circ} = \frac{1 + 5}{4}$ 。

五、容易错在哪

相邻下标写错一位，如把 $cos (n - 1) t$ 写成 $cos (n - 2) t$ 。用 $t = 6 0^{\circ}$ 代入能查出来。
只算前几个 $n$ 就断言对所有 $n$ 成立，这不是证明，要说清前两项和“连续两项推下一项”。
相邻差抵消后要写出保留的首项和末项，末项的下标最容易错。
除以 $sin d$ 之前要确认它不是 $0$ 。例如 $d = 18 0^{\circ}$ 时 $sin d = 0$ ，这样乘两边都是 $0$ ，得不到结果。
多项式方程解出的根要回到题目的角： $∣ c ∣ > 1$ 不是余弦值，范围不符的也要舍去。

进阶：乘正弦消去

相邻差：中间全部抵消

一串相邻两项的差相加，只剩首尾： $(u_{2} - u_{1}) + (u_{3} - u_{2}) + \dots + (u_{n + 1} - u_{n}) = u_{n + 1} - u_{1}$ 。不管 $u_{k}$ 是什么式子，这都成立，只要每一项确实能写成这种形式，并且首尾写对。 $u_{k}$ 也可以是反三角值： $arccos u$ 表示 $[0, π]$ 里余弦等于 $u$ 的角。一个不含三角的例子： $\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ ，所以 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 。

乘正弦，把和变成相邻差

展开 $cos (A - B) - cos (A + B)$ ，得 $2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B)$ 。一串角的间隔是 $2 d$ 时，每一项乘 $2 sin d$ ： $2 sin d sin A = cos (A - d) - cos (A + d)$ ，相邻两项的角相差 $2 d$ ，正好是相邻差。余弦的和也一样： $2 sin d cos A = sin (A + d) - sin (A - d)$ 。因为最后要除以 $sin d$ ，必须先确认 $sin d \neq = 0$ ； $sin d = 0$ 时要另外计算。

例 3：用消去解方程

解方程 $cos x + cos 3 x + cos 5 x = 0$ ， $0 < x < π$ 。

怎么看出来：

角的间隔是 $2 x$ ，乘 $2 sin x$ 能把左边并成一项。题目的范围保证 $sin x \neq = 0$ ，乘它不会多出解，也不会丢解。

解：

$0 < x < π$ 时 $sin x > 0$ ，所以原方程等价于 $2 sin x (cos x + cos 3 x + cos 5 x) = 0$ 。由 $2 sin d cos A = sin (A + d) - sin (A - d)$ ， $d = x$ ： $2 sin x cos x = sin 2 x - sin 0$ ， $2 sin x cos 3 x = sin 4 x - sin 2 x$ ， $2 sin x cos 5 x = sin 6 x - sin 4 x$ 。相加，中间抵消，得 $sin 6 x = 0$ 。所以 $6 x = kπ$ ，在 $0 < x < π$ 内 $k = 1, 2, 3, 4, 5$ 。检查： $x = \frac{π}{6}$ 时 $\frac{3}{2} + 0 - \frac{3}{2} = 0$ ； $x = \frac{π}{3}$ 时 $\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$ ； $x = \frac{π}{2}$ 时 $0 + 0 + 0 = 0$ 。

答案：

$x = \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, \frac{5 π}{6}$ 。

进阶：沿递推传性质

性质沿着递推传下去

如果 $cos (n - 1) t$ 和 $cos n t$ 都有某种性质，而递推的系数能保持这种性质，那么 $cos (n + 1) t$ 也有。从前两项出发，一环扣一环，就对所有正整数成立。写的时候要说清三件事：前两项成立；假设连续两项成立；推出下一项成立。只试前几项不算证明。

例 4：整数性质沿递推传下去

$cos t = \frac{1}{3}$ 。证明：对每个正整数 $n$ ， $3^{n} cos n t$ 都是整数。

怎么看出来：

要对所有 $n$ 说话，只能靠递推。先把递推改写成不含分数的形式。

解：

记 $a_{n} = 3^{n} cos n t$ ， $a_{0} = 1$ ， $a_{1} = 1$ 。递推式 $cos (n + 1) t = \frac{2}{3} cos n t - cos (n - 1) t$ 两边乘 $3^{n + 1}$ ，得 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 9 a_{n - 1}$ 。系数 $2, 9$ 都是整数。前两项 $a_{0}, a_{1}$ 是整数；若连续两项 $a_{n - 1}, a_{n}$ 是整数，则 $a_{n + 1}$ 也是整数。这样一项接一项，所有 $a_{n}$ 都是整数。验算： $a_{2} = 2 - 9 = - 7$ ， $a_{3} = - 14 - 9 = - 23$ ， $a_{4} = - 46 + 63 = 17$ ，与 $cos 2 t = - \frac{7}{9}$ ， $cos 3 t = - \frac{23}{27}$ ， $cos 4 t = \frac{17}{81}$ 一致。

答案：

对每个正整数 $n$ ， $3^{n} cos n t$ 都是整数。

进阶：多项式记号

用字母记多项式

常把满足 $T_{n} (cos t) = cos n t$ 的多项式记作 $T_{n}$ ，如 $T_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ ， $T_{3} (x) = 4 x^{3} - 3 x$ 。计算时括号里要先化成某个角的余弦。例如 $sin 7 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}$ ，所以 $T_{2} (sin 7 0^{\circ}) = T_{2} (cos 2 0^{\circ}) = cos 4 0^{\circ}$ 。而 $cos (18 0^{\circ} + x) = - cos x$ 让系数里的负号可以换成角。

例 5：三次方程换成角

解方程 $4 x^{3} - 3 x = \frac{1}{2}$ 。

怎么看出来：

左边正好是 $cos 3 t$ 用 $cos t$ 写出的样子，设 $x = cos t$ 。

解：

设 $x = cos t$ ，方程变为 $cos 3 t = \frac{1}{2}$ ，所以 $3 t = \pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ （ $k$ 为整数）。取 $t = 2 0^{\circ}$ ， $10 0^{\circ}$ （此时 $3 t = 30 0^{\circ}$ ）， $14 0^{\circ}$ （此时 $3 t = 42 0^{\circ}$ ），它们的余弦 $cos 2 0^{\circ}, cos 10 0^{\circ}, cos 14 0^{\circ}$ 互不相同，都是方程的根。三次方程最多 $3$ 个实根，所以这就是全部的根，不必再找 $∣ x ∣ > 1$ 的解。

答案：

$x = cos 2 0^{\circ}, cos 10 0^{\circ}, cos 14 0^{\circ}$ 。

真题

按这个方法练 · 5 题

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解三角方程、数解的个数：化成标准方程，写全所有分支

先写原方程的定义域，化成 $sin x = a$ 这样的标准方程，查 $∣ a ∣ \leq 1$ ，再写出所有分支。题目限定区间或要求排序时，逐个分支代整数检查，重合的解只算一次。

完整讲解 · 例题 · 可练 20 题

一、是什么

记号和常用值

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发转动角 $x$ （逆时针为正， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ ，并规定 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ （要求 $cos x \neq = 0$ ）。由勾股定理， $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ，这里 $sin^{2} x$ 表示 $(sin x)^{2}$ 。常用值： $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ， $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ， $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ，它们来自含 $3 0^{\circ}$ 或 $4 5^{\circ}$ 的直角三角形。转一整圈回到原处，所以 $sin (x + 2 π) = sin x$ ， $cos (x + 2 π) = cos x$ 。由单位圆的对称： $sin (- x) = - sin x$ ， $cos (- x) = cos x$ ， $sin (π - x) = sin x$ ， $cos (π - x) = - cos x$ 。例如 $cos \frac{2 π}{3} = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ 。

标准方程的全部解

$sin x = a$ （ $∣ a ∣ \leq 1$ ）：单位圆上纵坐标为 $a$ 的点一般有 $2$ 个，关于纵轴对称。设 $α$ 是其中一个解，全部解是 $x = α + 2 kπ$ 或 $x = π - α + 2 kπ$ ， $k$ 是任意整数。 $cos x = a$ （ $∣ a ∣ \leq 1$ ）：横坐标为 $a$ 的点关于横轴对称，全部解是 $x = \pm α + 2 kπ$ 。例如 $sin x = \frac{1}{2}$ 的全部解是 $x = \frac{π}{6} + 2 kπ$ 或 $x = \frac{5 π}{6} + 2 kπ$ 。 $∣ a ∣ > 1$ 时无解，因为落点坐标不会超过 $1$ 。

代数方程：解出后先过值域这一关

把 $cos x$ 看成 $t$ ，解出的 $t$ 只有在 $[- 1, 1]$ 内才保留。例如 $2 t^{2} + 5 t - 3 = 0$ 的解是 $t = \frac{1}{2}$ 和 $t = - 3$ ，后者不在 $[- 1, 1]$ 内， $cos x = - 3$ 没有解。

分支会重合

$sin x = 1$ 时 $α = \frac{π}{2}$ ，两个分支 $\frac{π}{2} + 2 kπ$ 和 $π - \frac{π}{2} + 2 kπ$ 是同一组数，只算一组。解的个数要用不同的值数，不是用分支数。

正解排序：每个分支的第一个正解

$sin x = - \frac{1}{2}$ 的一个解是 $- \frac{π}{6}$ ，但它是负数。把分支写成正解开头： $x = \frac{7 π}{6} + 2 kπ$ 和 $x = \frac{11 π}{6} + 2 kπ$ ， $k = 0, 1, 2, \dots$ 。排序后两个分支轮流出现。

定义域：化简可能带来多余的解

$\frac{1 - cos 2 x}{sin x} = 0$ 中， $1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x$ ，方程要求 $sin x \neq = 0$ ，而这时左边 $= 2 sin x \neq = 0$ ，所以无解。如果约分后才解 $2 sin x = 0$ ，就会把禁点错当成解。

先看一道例题

例 1：值域筛掉一个根，再数解

方程 $2 cos^{2} x + 5 cos x - 3 = 0$ 在 $[0, 6 π]$ 上有几个解？

怎么看出来：

这是 $cos x$ 的二次方程，设元解，再按分支在区间里数。

解：

设 $t = cos x$ ， $(2 t - 1) (t + 3) = 0$ ， $t = \frac{1}{2}$ 或 $t = - 3$ 。 $t = - 3$ 不在 $[- 1, 1]$ 内，舍去。 $cos x = \frac{1}{2}$ 的全部解是 $x = \pm \frac{π}{3} + 2 kπ$ 。在 $[0, 6 π]$ 内， $\frac{π}{3} + 2 kπ$ 取 $k = 0, 1, 2$ ，得 $\frac{π}{3}, \frac{7 π}{3}, \frac{13 π}{3}$ ； $- \frac{π}{3} + 2 kπ$ 取 $k = 1, 2, 3$ ，得 $\frac{5 π}{3}, \frac{11 π}{3}, \frac{17 π}{3}$ 。这 $6$ 个数互不相同，两端 $0, 6 π$ 处 $cos x = 1$ ，不是解。

答案：

$6$ 个。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
方程里只有 $sin x$ 或 $cos x$ 的二次式，或能用平方关系化成这样	设元解二次方程，再过值域这一关
问 $[0, 2 π]$ 或其他区间里的解	写全分支，逐个代整数，查端点
问第几个正解	每个分支从第一个正解起列出，按大小合并并去重。周期相同、每周期内位置固定时，才能轮流排
方程有分母或正切	先写定义域，解完回头查
$cos 3 x = cos x$ 这种同名三角值相等	角相等或相反加整圈，注意重合（见进阶“同名方程与辅助角”）
在一个小区间内要解特殊的方程	试特殊角，用严格单调证明没有其他解（见进阶“唯一性”）

三、怎么用

写定义域，化成一元方程。例如 $\frac{2 cos ^{2} x - cos x - 1}{sin x} = 0$ ，定义域要求 $sin x \neq = 0$ 。分子为 $0$ 才可能成立，设 $t = cos x$ ，得 $2 t^{2} - t - 1 = 0$ 。
解代数方程，过值域这一关。 $(2 t + 1) (t - 1) = 0$ ， $t = - \frac{1}{2}$ 或 $t = 1$ ，都在 $[- 1, 1]$ 内。
写全分支。 $cos x = 1$ ： $x = 2 kπ$ 。 $cos x = - \frac{1}{2}$ ： $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 kπ$ 。
回到定义域，再按题目要求筛选。 $x = 2 kπ$ 时 $sin x = 0$ ，分母为 $0$ ，这一组全部舍去。若限定 $[0, 2 π]$ ，只剩 $\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$ 。
代回原方程检查。 $x = \frac{2 π}{3}$ 时 $sin x = \frac{3}{2} \neq = 0$ ， $cos x = - \frac{1}{2}$ ，分子 $2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = 0$ 。

四、再做一道

例 2：第一个正解不是主值

方程 $sin x = - \frac{1}{2}$ 的所有正解从小到大排为 $x_{1}, x_{2}, \dots$ 。求 $x_{10}$ 。

怎么看出来：

$- \frac{π}{6}$ 是负数，每个分支要重新找第一个正解，再轮流排。

解：

取 $α = - \frac{π}{6}$ ，分支是 $- \frac{π}{6} + 2 kπ$ 和 $π + \frac{π}{6} + 2 kπ$ 。第一个分支的第一个正解是 $\frac{11 π}{6}$ （ $k = 1$ ），第二个分支的第一个正解是 $\frac{7 π}{6}$ （ $k = 0$ ）。所以 $x_{1} = \frac{7 π}{6}, x_{2} = \frac{11 π}{6}, x_{3} = \frac{19 π}{6}, x_{4} = \frac{23 π}{6}$ ，每 $2$ 个之后加 $2 π$ 。 $x_{2 m} = \frac{11 π}{6} + 2 (m - 1) π$ ，取 $m = 5$ ： $x_{10} = \frac{11 π}{6} + 8 π = \frac{59 π}{6}$ 。

答案：

$\frac{59 π}{6}$ 。

五、容易错在哪

$arcsin a$ 表示 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 内正弦等于 $a$ 的那个角，它只给一个解，不能代替全部分支。
重合的分支只算一次，数解的个数时要去掉相同的值。
正解排序时，公式 $k = 0$ 给出的值可能是负数或零，要重新确定每个分支的第一个正解。
只验证一个特殊角满足方程，不能说明它是唯一的解。要说明没有其他解，通常靠单调性或分解。
解出的值要回到原方程查定义域。有分母或正切的方程，约分或化简后的解可能是禁点。
限定闭区间时，两个端点都要单独代入检查。

进阶：同名方程与辅助角 · 先修：本卡基础部分

两个三角值相等

$cos A = cos B$ 的全部情形是 $A = B + 2 kπ$ 或 $A = - B + 2 kπ$ ； $sin A = sin B$ 的全部情形是 $A = B + 2 kπ$ 或 $A = π - B + 2 kπ$ 。这和标准方程的分支一样。

合成一项：一次式方程

$a sin x + b cos x = c$ ， $a, b$ 不全为 $0$ 时，提出 $R = a^{2} + b^{2}$ ，取 $φ$ 使 $cos φ = \frac{a}{R}, sin φ = \frac{b}{R}$ ，由和角公式 $sin x cos φ + cos x sin φ = sin (x + φ)$ 得 $R sin (x + φ) = c$ ，这就是标准方程。两边平方可能产生多余的解，所以不这样做： $sin x + cos x = 1$ 平方后得 $sin 2 x = 0$ ，其中 $x = π$ 不满足原方程。

例 3：两个分支有重合

方程 $cos 3 x = cos x$ 在 $[0, 2 π)$ 内有几个解？

怎么看出来：

同名余弦相等，分成角相等和角相反两种，要去掉重合。

解：

$3 x = x + 2 kπ$ 给出 $x = kπ$ 。 $3 x = - x + 2 kπ$ 给出 $x = \frac{kπ}{2}$ 。第一组全部含在第二组中，因为 $kπ = \frac{2 kπ}{2}$ 。所以全部解是 $x = \frac{kπ}{2}$ 。在 $[0, 2 π)$ 内有 $0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$ 。检查 $x = \frac{π}{2}$ ： $cos \frac{3 π}{2} = 0 = cos \frac{π}{2}$ 。

答案：

$4$ 个。

例 4：合成一项，写全部解

解方程 $sin x + 3 cos x = 1$ 。

怎么看出来：

同一个角的正弦和余弦的一次式，合成一项就是标准方程。

解：

$R = 1 + 3 = 2$ ， $cos φ = \frac{1}{2}, sin φ = \frac{3}{2}$ ，取 $φ = \frac{π}{3}$ ，方程是 $2 sin (x + \frac{π}{3}) = 1$ 。所以 $x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + 2 kπ$ 或 $\frac{5 π}{6} + 2 kπ$ ，即 $x = - \frac{π}{6} + 2 kπ$ 或 $x = \frac{π}{2} + 2 kπ$ 。检查： $x = \frac{π}{2}$ 时左边 $= 1$ ； $x = - \frac{π}{6}$ 时左边 $= - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1$ 。

答案：

$x = - \frac{π}{6} + 2 kπ$ 或 $x = \frac{π}{2} + 2 kπ$ ， $k$ 是整数。

进阶：唯一性 · 先修：本卡基础部分

证明解唯一：用严格单调

函数在区间内严格单调时，每个值至多取一次。在 $(0, \frac{π}{2})$ 内，随 $x$ 增大，单位圆上的点向上向左走，所以 $sin x$ 严格增、 $cos x$ 严格减且为正， $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ 严格增。试出一个解后，单调性排除其他解。要先把全部可能的解都限制在这个区间里。

例 5：含参数：解的存在和唯一

实数 $a$ 取什么值时，方程 $sin x + tan x = a$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 内有解？有解时有几个？

怎么看出来：

左边是两个增函数之和，严格增，所以至多一个解。是否有解要看左边取到哪些值，开区间的端点取不到。

解：

设 $g (x) = sin x + tan x$ 。在 $(0, \frac{π}{2})$ 内 $sin x$ 和 $tan x$ 都严格增，所以 $g$ 严格增，每个值至多取一次。又 $sin x, tan x$ 都为正，所以 $g (x) > 0$ ， $a \leq 0$ 时无解，包括 $a = 0$ ，因为 $x = 0$ 不在区间内。设 $a > 0$ 。 $x$ 接近 $0$ 时 $g (x)$ 接近 $0$ ，小于 $a$ ； $x$ 接近 $\frac{π}{2}$ 时分母 $cos x$ 接近 $0$ ， $tan x$ 可以超过 $a$ ，此时 $g (x) > a$ 。 $g$ 的图象在这个区间上连续不断，所以中间有一点使 $g (x) = a$ ，恰有 $1$ 个解。

答案：

$a > 0$ 时恰有 $1$ 个解， $a \leq 0$ 时无解。

真题

按这个方法练 · 20 题

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两角的正弦和、余弦和，成对根式：用半和半差或换成角

把两个角写成“半和加减半差”，正弦和、余弦和就变成乘积； $0 \leq x \leq 1$ 时，成对根式 $x, 1 - x$ 可以换成一个角的正弦和余弦。算完要把每种可能还原回去，逐个代回检查。

完整讲解 · 例题 · 可练 6 题

一、是什么

记号和要用的公式

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发逆时针转角 $x$ ，落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ ， $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ （要求 $cos x \neq = 0$ ）。 $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ 。由勾股定理 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 。常用值： $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ， $sin \frac{π}{4} = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ ， $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ ， $tan \frac{π}{4} = 1$ ， $tan \frac{π}{3} = 3$ 。从圆上看： $sin (π - x) = sin x$ ， $cos (π - x) = - cos x$ ；多转半圈，横纵坐标都变号， $sin (x + π) = - sin x$ ， $cos (x + π) = - cos x$ ，所以 $tan (x + π) = tan x$ 。例如 $tan \frac{5 π}{4} = 1$ ， $sin \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}$ 。和差角公式： $sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ ， $cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$ 。取 $a = b$ 得 $cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a$ 。

半和半差：和变成乘积

设 $S = \frac{α + β}{2}$ （半和）， $D = \frac{α - β}{2}$ （半差），则 $α = S + D, β = S - D$ 。把 $sin (S + D)$ 和 $sin (S - D)$ 展开再相加， $cos S sin D$ 一正一负抵消，得 $sin α + sin β = 2 sin S cos D$ 。同样展开相加得 $cos α + cos β = 2 cos S cos D$ 。这两个式子对任何角都成立。验算： $α = \frac{π}{2}, β = \frac{π}{6}$ 时 $S = \frac{π}{3}, D = \frac{π}{6}$ ， $sin α + sin β = \frac{3}{2}$ ，而 $2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ 。两式相减的版本是 $sin α - sin β = 2 cos S sin D$ ， $cos α - cos β = - 2 sin S sin D$ 。

两式相除、平方相加，分别得到什么

$cos D \neq = 0$ 且 $cos S \neq = 0$ 时，两式相除得 $tan S = \frac{sin α + sin β}{cos α + cos β}$ 。如果两个和都是 $0$ ，只能说明 $cos D = 0$ ，这时 $S$ 定不出来。两式平方相加，因为 $sin^{2} S + cos^{2} S = 1$ ，得 $(sin α + sin β)^{2} + (cos α + cos β)^{2} = 4 cos^{2} D$ ，再由 $cos 2 D = 2 cos^{2} D - 1$ 可以换成 $2 + 2 cos (α - β)$ 。平方后只知道 $cos^{2} D$ ， $cos D$ 的正负要由范围或另一个式子决定。

成对根式换成角

$x$ 和 $1 - x$ 都有意义，要求 $0 \leq x \leq 1$ 。 $θ$ 从 $0$ 增到 $\frac{π}{2}$ 时， $sin^{2} θ$ 从 $0$ 增到 $1$ ，所以这样的 $x$ 恰好对应一个 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ，使 $x = sin^{2} θ$ 。这个范围里正弦、余弦都非负，开方不带负号： $x = sin θ$ ， $1 - x = cos θ$ 。例如 $x = \frac{1}{4}$ 对应 $θ = \frac{π}{6}$ ， $x = \frac{1}{2}$ ， $1 - x = \frac{3}{2}$ 。之后常用 $sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$ ，把右边按和角公式展开就能验证。

先看一道例题

例 1：还原两个角，逐支检查

$0 \leq β < α < 2 π$ ， $sin α + sin β = 1$ ， $cos α + cos β = 1$ 。求 $α, β$ 。

怎么看出来：

同时给了正弦和、余弦和，用半和半差。 $S$ 在 $(0, 2 π)$ 里可能有两个值，都要试。

解：

设 $S = \frac{α + β}{2}, D = \frac{α - β}{2}$ 。由范围得 $0 < S < 2 π$ ， $0 < D < π$ 。条件化成 $2 sin S cos D = 1$ ， $2 cos S cos D = 1$ 。右边不是 $0$ ，所以 $cos D \neq = 0$ ， $cos S \neq = 0$ ，相除得 $tan S = 1$ ， $S = \frac{π}{4}$ 或 $\frac{5 π}{4}$ 。若 $S = \frac{π}{4}$ ： $2 \cdot \frac{2}{2} cos D = 1$ ， $cos D = \frac{2}{2}$ ， $D = \frac{π}{4}$ ，于是 $α = \frac{π}{2}, β = 0$ 。若 $S = \frac{5 π}{4}$ ： $sin S = - \frac{2}{2}$ ，得 $cos D = - \frac{2}{2}$ ， $D = \frac{3 π}{4}$ ，于是 $α = 2 π$ ，超出 $α < 2 π$ ，舍去。检查： $sin \frac{π}{2} + sin 0 = 1$ ， $cos \frac{π}{2} + cos 0 = 1$ 。

答案：

$α = \frac{π}{2}, β = 0$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
同时给出 $sin α + sin β$ 和 $cos α + cos β$	化成 $2 sin S cos D$ 、 $2 cos S cos D$ ，相除求 $S$ ，平方相加求 $cos^{2} D$
一个和一个差，如 $sin α + sin β$ 和 $cos α - cos β$	两个乘积都含 $sin S$ ，相除求 $tan D$ ，平方相加得 $4 sin^{2} S$
$x$ 与 $1 - x$ 成对出现	先确认 $0 \leq x \leq 1$ ，再设 $x = sin^{2} θ$ ， $θ \in [0, \frac{π}{2}]$
$x, 1 - x, y, 1 - y$ 两两相乘后开方	先证两个变量都在 $[0, 1]$ ，再用两个角（见进阶“两个变量的根式”）
只问 $tan α tan β$ 这类对称的量	求 $cos (α \pm β)$ ，不必解出两个角（见进阶“只求目标”）
根号下是 $1 \pm sin x$	写成半角的完全平方，开方加绝对值（见进阶“根号里的完全平方”）

三、怎么用

写出角的范围，推出 $S, D$ 的范围。例如 $sin α + sin β = \frac{3}{2}$ ， $cos α + cos β = \frac{3}{2}$ ， $0 \leq β \leq α \leq π$ 。这时 $0 \leq S \leq π$ ， $0 \leq D \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $cos D \geq 0$ 。
化成乘积： $2 sin S cos D = \frac{3}{2}$ ， $2 cos S cos D = \frac{3}{2}$ 。
相除之前查分母。两个右边都不是 $0$ ，所以 $cos D \neq = 0$ ， $cos S \neq = 0$ 。相除得 $tan S = 3$ ，在 $[0, π]$ 里只有 $S = \frac{π}{3}$ 。
把 $S$ 代回一个式子求 $D$ ： $2 \cdot \frac{3}{2} cos D = \frac{3}{2}$ ， $cos D = \frac{3}{2}$ ，所以 $D = \frac{π}{6}$ 。
还原并代回： $α = S + D = \frac{π}{2}$ ， $β = S - D = \frac{π}{6}$ 。检查： $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ ， $0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ 。

四、再做一道

例 2：成对根式换成角

解方程 $x + 1 - x = \frac{6}{2}$ 。

怎么看出来：

$x$ 和 $1 - x$ 成对，换成同一个角的正弦和余弦，方程就只剩一个三角值。

解：

两个根式都有意义，要求 $0 \leq x \leq 1$ 。设 $x = sin^{2} θ$ ， $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ，方程变为 $sin θ + cos θ = \frac{6}{2}$ ，即 $2 sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{6}{2}$ ，所以 $sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}$ 。这里 $θ + \frac{π}{4} \in [\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ ，所以它等于 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ ，得 $θ = \frac{π}{12}$ 或 $\frac{5 π}{12}$ 。由 $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ 得 $x = \frac{1 - cos 2 θ}{2}$ ： $2 θ = \frac{π}{6}$ 时 $x = \frac{2 - 3}{4}$ ， $2 θ = \frac{5 π}{6}$ 时 $x = \frac{2 + 3}{4}$ 。检查：两个值都满足 $x (1 - x) = \frac{4 - 3}{16} = \frac{1}{16}$ ，所以左边的平方是 $1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$ ，左边为正，等于 $\frac{6}{2}$ 。

答案：

$x = \frac{2 - 3}{4}$ 或 $x = \frac{2 + 3}{4}$ 。

五、容易错在哪

没有证明变量在 $[0, 1]$ 里就设 $x = sin^{2} θ$ ，可能漏掉范围外的情况。被开方数非负不一定推出这个范围。
相除之前要确认分母不是 $0$ 。两个和都为 $0$ 时只能得到 $cos D = 0$ ，不能写 $tan S = \frac{0}{0}$ 。
平方相加只得到 $cos^{2} D$ ，不能直接取 $cos D$ 为正，正负要由角的范围或另一个式子决定。
$tan S$ 的值在一周里对应两个角， $sin$ 的值也常对应两个角，范围内的每一个都要算到底，再代回筛选。

进阶：两个变量的根式

两个变量的范围要联合着看

只看 $x (1 - y) \geq 0$ 这样的被开方数，推不出 $x, y$ 都在 $[0, 1]$ 里： $x = 2, y = - 1$ 时 $x (1 - y) = 4$ ， $y (1 - x) = 1$ ，都非负。所以换角之前，要用全部条件（包括方程本身）先证明 $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$ 。证明之后设 $x = sin^{2} θ, y = sin^{2} φ$ ， $θ, φ \in [0, \frac{π}{2}]$ ，就有 $x (1 - y) = sin θ cos φ$ ， $x y = sin θ sin φ$ ，再用和差角公式合并。

例 3：两个变量，先证范围

实数 $x, y$ 满足 $x (1 - y) + y (1 - x) = 1$ 。证明 $x + y = 1$ 。

怎么看出来：

$x, 1 - x, y, 1 - y$ 两两相乘后开方，很像和角公式。但被开方数非负推不出 $x, y \in [0, 1]$ ，要先证。

解：

先证 $0 \leq x \leq 1$ 。若 $x > 1$ ：由 $y (1 - x) \geq 0$ 且 $1 - x < 0$ 得 $y \leq 0$ ，于是 $1 - y \geq 1$ ， $x (1 - y) \geq x > 1$ ，左边大于 $1$ ，矛盾。若 $x < 0$ ：由 $x (1 - y) \geq 0$ 得 $1 - y \leq 0$ ，即 $y \geq 1$ ，又 $1 - x > 1$ ，所以 $y (1 - x) > 1$ ，矛盾。把 $x, y$ 对调方程不变，所以也有 $0 \leq y \leq 1$ 。设 $x = sin^{2} θ, y = sin^{2} φ$ ， $θ, φ \in [0, \frac{π}{2}]$ 。方程变为 $sin θ cos φ + sin φ cos θ = 1$ ，即 $sin (θ + φ) = 1$ 。因为 $θ + φ \in [0, π]$ ，所以 $θ + φ = \frac{π}{2}$ 。于是 $sin φ = cos θ$ ， $x + y = sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 。反过来， $x + y = 1$ 且 $0 \leq x \leq 1$ 时左边是 $x + y = 1$ ，方程成立。

答案：

$x + y = 1$ （且 $0 \leq x \leq 1$ ）。

进阶：只求目标

只求目标时不必解出角

由 $tan S$ 能得到和角的余弦： $cos 2 S = \frac{cos ^{2} S - sin ^{2} S}{cos ^{2} S + sin ^{2} S} = \frac{1 - tan ^{2} S}{1 + tan ^{2} S}$ 。由 $cos^{2} D$ 能得到差角的余弦： $cos (α - β) = 2 cos^{2} D - 1$ 。再用 $cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)]$ ， $sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)]$ （把和角、差角公式相加减得到）。目标里有分母时，要先算出分母不是 $0$ 。

例 4：不解角，直接求乘积的比

$sin α + sin β = \frac{1}{2}$ ， $cos α + cos β = 1$ 。求 $tan α tan β$ 。

怎么看出来：

目标是 $\frac{sin α sin β}{cos α cos β}$ ，分子分母都能用 $cos (α \pm β)$ 表示，不必求出 $α, β$ 。

解：

两式相除：右边不是 $0$ ，所以 $cos D \neq = 0, cos S \neq = 0$ ， $tan S = \frac{1}{2}$ 。于是 $cos (α + β) = cos 2 S = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{3}{5}$ 。平方相加： $4 cos^{2} D = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$ ， $cos^{2} D = \frac{5}{16}$ ，所以 $cos (α - β) = 2 \cdot \frac{5}{16} - 1 = - \frac{3}{8}$ 。分母 $cos α cos β = \frac{1}{2} (\frac{3}{5} - \frac{3}{8}) = \frac{9}{80} \neq = 0$ ，所以 $tan α, tan β$ 都有意义。分子 $sin α sin β = \frac{1}{2} (- \frac{3}{8} - \frac{3}{5}) = - \frac{39}{80}$ 。相除得 $- \frac{39}{9}$ 。

答案：

$- \frac{13}{3}$ 。

进阶：根号里的完全平方

根号里藏着完全平方

由 $sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$ 和 $sin^{2} \frac{x}{2} + cos^{2} \frac{x}{2} = 1$ ，得 $1 \pm sin x = (sin \frac{x}{2} \pm cos \frac{x}{2})^{2}$ 。开方时 $u^{2} = ∣ u ∣$ ，要看 $u$ 的正负。另一种常见的形式： $u \neq = 0$ 时 $u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + 2 = (u + \frac{1}{u})^{2}$ ，而 $cot x = \frac{cos x}{sin x}$ 满足 $cot^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x} - 1$ （要求 $sin x \neq = 0$ ）。

例 5：开方后按范围去绝对值

$\frac{π}{2} \leq x \leq π$ ，化简 $1 + sin x + 1 - sin x$ 。

怎么看出来：

根号下是 $1 \pm sin x$ ，写成半角的完全平方。开方后的正负由 $\frac{x}{2}$ 的范围决定。

解：

$1 + sin x = sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}$ ， $1 - sin x = sin \frac{x}{2} - cos \frac{x}{2}$ 。这里 $\frac{x}{2} \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ ，所以 $sin \frac{x}{2} \geq cos \frac{x}{2} \geq 0$ ，两个绝对值里都非负。原式 $= (sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}) + (sin \frac{x}{2} - cos \frac{x}{2}) = 2 sin \frac{x}{2}$ 。检查： $x = π$ 时原式 $= 1 + 1 = 2$ ， $2 sin \frac{π}{2} = 2$ ； $x = \frac{π}{2}$ 时原式 $= 2$ ， $2 sin \frac{π}{4} = 2$ 。

答案：

$2 sin \frac{x}{2}$ 。

真题

按这个方法练 · 6 题

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三角形里的角关系：写成乘积，逐支筛选

三角形的 $3$ 个角都在 $(0, π)$ 内且和为 $π$ ，这是筛选的依据。两个函数值相等，不能直接令角相等：移项后写成乘积，分别令每个因子为零，每一支都代回条件。有边又有角时，用正弦定理把边换成角。

完整讲解 · 例题 · 可练 7 题

一、是什么

正弦、余弦、正切是什么

半径为 $1$ 的圆，圆心在原点。从 $(1, 0)$ 出发逆时针转角 $x$ ，落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ ； $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ ，要求 $cos x \neq = 0$ 。 $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ 。 $sin 2 A$ 表示 $sin (2 A)$ ， $sin^{2} A$ 表示 $(sin A)^{2}$ ，由勾股定理 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 。直角三角形的锐角 $x$ 有 $sin x = \frac{对边}{斜边}$ ， $cos x = \frac{邻边}{斜边}$ 。看圆就能判断正负和零点： $0 < x < π$ 时落点在上半圆，所以 $sin x > 0$ ； $- π < x < π$ 时，只有 $x = 0$ 落在 $(1, 0)$ 上，所以 $sin x = 0$ 只有 $x = 0$ ； $0 < x < π$ 时，只有 $x = \frac{π}{2}$ 落在纵轴上，所以 $cos x = 0$ 只有 $x = \frac{π}{2}$ 。左右对称给出 $sin (π - x) = sin x$ ， $cos (π - x) = - cos x$ ，例如 $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ 。

三角形带来的条件

$A + B + C = π$ （ $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），每个角都在 $(0, π)$ 内。所以 $sin A, sin B, sin C$ 都是正数。由 $sin (π - x) = sin x$ ， $cos (π - x) = - cos x$ ，得 $sin (A + B) = sin C$ ， $cos (A + B) = - cos C$ 。 $tan A$ 要求 $A \neq = \frac{π}{2}$ 。 $A - B$ 在 $(- π, π)$ 内，所以 $sin (A - B) = 0$ 只能是 $A = B$ 。 $A + B$ 在 $(0, π)$ 内，所以 $cos (A + B) = 0$ 只能是 $A + B = \frac{π}{2}$ 。

和变成乘积

由和差角公式 $sin (u \pm v) = sin u cos v \pm cos u sin v$ ， $cos (u \pm v) = cos u cos v \mp sin u sin v$ ，相减得： $sin (u + v) - sin (u - v) = 2 cos u sin v$ ， $cos (u + v) - cos (u - v) = - 2 sin u sin v$ 。令 $u + v = P, u - v = Q$ ： $sin P - sin Q = 2 cos \frac{P + Q}{2} sin \frac{P - Q}{2}$ ， $cos P - cos Q = - 2 sin \frac{P + Q}{2} sin \frac{P - Q}{2}$ 。例如 $sin 2 A - sin 2 B = 2 cos (A + B) sin (A - B)$ 。验算： $A = 3 0^{\circ}, B = 6 0^{\circ}$ 时 $cos (A + B) = 0$ ，左边 $sin 6 0^{\circ} - sin 12 0^{\circ} = 0$ 。

乘积为零时分开解

$MN = 0$ 时，分别令 $M = 0$ 和 $N = 0$ 求解，再合并，并不要求两个因子同时为零。每一支都要代回原条件：有的支在三角形里不可能成立，有的支和其他条件矛盾。只有证明了一个因子不为零，才能把它约去。

边换成角：正弦定理

从 $C$ 向直线 $A B$ 作高，高是 $b sin A$ （ $A$ 为钝角时用 $sin (π - A) = sin A$ ），所以面积是 $\frac{1}{2} b c sin A$ 。面积用 $3$ 种方式写： $\frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c a sin B = \frac{1}{2} ab sin C$ （ $a, b, c$ 是 $A, B, C$ 的对边）。同除 $\frac{1}{2} ab c$ 得 $\frac{sin A}{a} = \frac{sin B}{b} = \frac{sin C}{c}$ 。所以有正数 $k$ 使 $a = k sin A, b = k sin B, c = k sin C$ 。等式每一项里边的次数相同时， $k$ 可以约去，就只剩角了。

先看一道例题

例 1：两支都保留

$△ A BC$ 中 $sin 2 A = sin 2 B$ ，判断它的形状。

怎么看出来：

正弦值相等不能直接令 $2 A = 2 B$ ： $sin 6 0^{\circ} = sin 12 0^{\circ}$ ，而 $6 0^{\circ} \neq = 12 0^{\circ}$ 。所以移项写成乘积。

解：

$sin 2 A - sin 2 B = 2 cos (A + B) sin (A - B) = 0$ 。若 $sin (A - B) = 0$ ，由 $A - B \in (- π, π)$ 得 $A = B$ 。若 $cos (A + B) = 0$ ，由 $A + B \in (0, π)$ 得 $A + B = \frac{π}{2}$ ，即 $C = \frac{π}{2}$ 。代回检查： $A = B = 5 0^{\circ}$ 时两边相等； $A = 3 0^{\circ}, B = 6 0^{\circ}$ 时 $sin 6 0^{\circ} = sin 12 0^{\circ}$ ，也相等。两支都能出现。

答案：

等腰三角形（ $A = B$ ）或直角三角形（ $C = \frac{π}{2}$ ）。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$sin 2 A = sin 2 B$ 这样的等式	移项写成乘积，分支是 $A = B$ 或 $A + B = \frac{π}{2}$ 。其他倍数要重新分解： $sin 3 A = sin 3 B$ 在 $A = 2 0^{\circ}, B = 4 0^{\circ}$ 时也成立，这两支都不适用
边和角混在一个等式里，每项边的次数相同	用正弦定理把边换成 $k sin$ ，约去 $k$
$sin A \pm cos A$ 这样的组合在两个角上相等	把正弦、余弦分别配对写成乘积，再提公因式（见进阶“约去非零因子”）
$cos^{2} A + cos^{2} B + cos^{2} C$ 或 $sin^{2}$ 的平方和	用平方和恒等式（见进阶“平方和”）
$b^{2} + c^{2} - a^{2}$ 和面积一起出现，或要求 $tan \frac{A}{2}$	用余弦定理和面积公式（见进阶“面积和半角”）

三、怎么用

写出范围。例如 $△ A BC$ 中 $cos 2 A = cos 2 B$ ，有 $A + B \in (0, π)$ ， $A - B \in (- π, π)$ 。
移项写成乘积。 $cos 2 A - cos 2 B = - 2 sin (A + B) sin (A - B) = 0$ 。
分别令因子为零，用范围判断。 $sin (A + B) = sin C > 0$ ，这一支不可能； $sin (A - B) = 0$ 且 $A - B \in (- π, π)$ ，得 $A = B$ 。
代回条件，确认这一支成立。 $A = B$ 时 $cos 2 A = cos 2 B$ 成立，所以结论是 $A = B$ ，三角形等腰。

四、再做一道

例 2：边换成角，再用条件筛选

$△ A BC$ 中 $a cos A = b cos B$ ， $a = 3, b = 4$ 。求 $c$ 。

怎么看出来：

边和角混在一起，每项都有一次边，用正弦定理换成角。 $a \neq = b$ 会筛掉一支。

解：

设 $a = k sin A, b = k sin B$ ， $k > 0$ 。约去 $k$ 得 $sin A cos A = sin B cos B$ 。两边乘 $2$ ，由和角公式 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ 得 $sin 2 A = sin 2 B$ ，所以 $A = B$ 或 $A + B = \frac{π}{2}$ 。若 $A = B$ ，等角对等边， $a = b$ ，与 $a = 3, b = 4$ 矛盾。所以 $A + B = \frac{π}{2}$ ， $C = \frac{π}{2}$ ，由勾股定理 $c = 9 + 16 = 5$ 。检查： $cos A = \frac{4}{5}, cos B = \frac{3}{5}$ ， $3 \cdot \frac{4}{5} = 4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{5}$ 。

答案：

$c = 5$ 。

五、容易错在哪

看到 $sin 2 A = sin 2 B$ 就写 $A = B$ ，会漏掉 $A + B = \frac{π}{2}$ 这一支。
题目说斜三角形，表示没有直角， $A + B = \frac{π}{2}$ 这一支要舍去；题目出现 $tan A$ ，也说明 $A \neq = \frac{π}{2}$ 。
约去 $cos A$ 或 $tan A$ 之前要证明它不为零； $sin A$ 和边长在三角形里是正数，才能直接约去。
正弦定理换边时，要求每一项边的次数相同， $k$ 才能约去。
判断形状时要说明每一支真的能出现，举一个具体的三角形代回。

进阶：平方和

平方和的恒等式

由 $cos C = - cos (A + B) = sin A sin B - cos A cos B$ ，得 $cos C + cos A cos B = sin A sin B$ 。两边平方，右边是 $(1 - cos^{2} A) (1 - cos^{2} B)$ ，展开整理得 $cos^{2} A + cos^{2} B + cos^{2} C + 2 cos A cos B cos C = 1$ 。这个等式对任何三角形成立。验算： $A = B = C = 6 0^{\circ}$ 时 $\frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{1}{8} = 1$ 。

例 3：平方和判断形状

$△ A BC$ 中 $sin^{2} A + sin^{2} B + sin^{2} C = 2$ ，判断它的形状。

怎么看出来：

平方和，换成余弦后能用恒等式，把和变成一个乘积。

解：

$sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ ，所以条件变为 $3 - (cos^{2} A + cos^{2} B + cos^{2} C) = 2$ ，即 $cos^{2} A + cos^{2} B + cos^{2} C = 1$ 。代入恒等式 $cos^{2} A + cos^{2} B + cos^{2} C + 2 cos A cos B cos C = 1$ ，得 $cos A cos B cos C = 0$ 。所以有一个角的余弦为 $0$ ，这个角在 $(0, π)$ 内，就是 $\frac{π}{2}$ 。反过来， $C = \frac{π}{2}$ 时 $sin^{2} A + sin^{2} B = 1$ ， $sin^{2} C = 1$ ，和为 $2$ 。

答案：

直角三角形。

进阶：约去非零因子

投影式和约去非零因子

$a cos B + b cos A = k (sin A cos B + sin B cos A) = k sin (A + B) = k sin C = c$ 。所以对任何三角形 $c = a cos B + b cos A$ 。这类等式约去 $sin C$ 或 $c$ 时没有问题，因为它们是正数；约去 $cos A$ 之前，就要先讨论 $cos A = 0$ 。

例 4：投影式消去一条边

$△ A BC$ 中 $c = 2 a cos B$ ，判断它的形状。

怎么看出来：

$c$ 可以换成投影式 $a cos B + b cos A$ ，一边的 $a cos B$ 就消掉了，剩下的式子只有两项。

解：

由 $c = a cos B + b cos A$ ，条件变为 $a cos B + b cos A = 2 a cos B$ ，即 $b cos A = a cos B$ 。用正弦定理换成角，约去 $k > 0$ ： $sin B cos A = sin A cos B$ ，即 $sin (A - B) = 0$ 。 $A - B \in (- π, π)$ ，所以 $A = B$ 。反过来， $A = B$ 时 $a = b$ ，从 $C$ 向 $A B$ 作高，垂足平分 $A B$ ， $c = 2 a cos B$ 成立。

答案：

等腰三角形（ $a = b$ ）。

例 5：配对后提公因式，一支被排除

$△ A BC$ 中 $sin A - cos A = sin B - cos B$ 。证明 $A = B$ 。

怎么看出来：

把正弦放一起、余弦放一起，分别写成乘积，它们有公共因子 $sin \frac{A - B}{2}$ 。

解：

移项得 $(sin A - sin B) - (cos A - cos B) = 0$ 。设 $S = \frac{A + B}{2}, D = \frac{A - B}{2}$ ，则 $sin A - sin B = 2 cos S sin D$ ， $cos A - cos B = - 2 sin S sin D$ ，所以 $2 sin D (cos S + sin S) = 0$ 。因为 $A + B \in (0, π)$ ，所以 $S \in (0, \frac{π}{2})$ ， $sin S, cos S$ 都是正数， $cos S + sin S > 0$ 。于是 $sin D = 0$ ，而 $D \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，所以 $D = 0$ ， $A = B$ 。

答案：

$A = B$ 。

进阶：面积和半角

面积、余弦定理和半角

余弦定理 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ 把 $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ 换成 $2 b c cos A$ ；面积 $S = \frac{1}{2} b c sin A$ 。由 $cos A = 1 - 2 sin^{2} \frac{A}{2}$ ， $sin A = 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2}$ ，得 $tan \frac{A}{2} = \frac{1 - cos A}{sin A}$ 。余切 $cot x = \frac{cos x}{sin x}$ 也常和边比一起出现： $cot A + cot B = \frac{sin ( A + B )}{sin A sin B} = \frac{sin C}{sin A sin B}$ 。验算： $A = B = 4 5^{\circ}$ 时左边是 $2$ ，右边是 $\frac{1}{1/2} = 2$ 。

例 6：面积和余弦定理

$△ A BC$ 的面积 $S = \frac{3}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，求 $A$ 。

怎么看出来：

右边的括号是余弦定理的样子，左边用含 $A$ 的面积公式，边都能约去。

解：

$b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 b c cos A$ ， $S = \frac{1}{2} b c sin A$ 。条件变为 $\frac{1}{2} b c sin A = \frac{3}{2} b c cos A$ 。 $b c > 0$ ，约去得 $sin A = 3 cos A$ 。若 $cos A = 0$ ，则 $sin A = 0$ ，这不可能，所以 $cos A \neq = 0$ ， $tan A = 3$ 。 $A \in (0, π)$ ，所以 $A = \frac{π}{3}$ 。检查：边长都为 $2$ 时面积是 $3$ ，右边 $\frac{3}{4} \cdot 4 = 3$ 。

答案：

$A = \frac{π}{3}$ 。

真题

按这个方法练 · 7 题

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三角分式化简：先写禁值，切化弦，查过非零再约分

有正切又有正弦、余弦时，先写出原式在哪里没有意义，再把 $tan x$ 写成 $\frac{sin x}{cos x}$ ，通分后找公因式。约分前确认公因式不为零，化简结果只在原式有意义的范围内成立。

完整讲解 · 例题 · 可练 28 题

一、是什么

记号：正弦、余弦、正切

在圆心为原点、半径为 $1$ 的圆上，从 $(1, 0)$ 出发转动角 $x$ （逆时针为正， $π$ 表示 $18 0^{\circ}$ ），落点的横坐标叫 $cos x$ ，纵坐标叫 $sin x$ 。由勾股定理， $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ，这里 $sin^{2} x$ 表示 $(sin x)^{2}$ 。再规定 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ （要求 $cos x \neq = 0$ ）， $cot x = \frac{cos x}{sin x}$ （要求 $sin x \neq = 0$ ）， $sec x = \frac{1}{cos x}$ ， $csc x = \frac{1}{sin x}$ 。落点在横轴上时 $sin x = 0$ ，即 $x = kπ$ ；落点在纵轴上时 $cos x = 0$ ，即 $x = \frac{π}{2} + kπ$ 。这里 $k$ 表示任意整数。检查时常用的值： $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}, cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ ，所以 $tan \frac{π}{3} = 3$ 。这来自斜边为 $1$ 、一个角为 $6 0^{\circ}$ 的直角三角形：短直角边是斜边的一半，另一条由勾股定理算出。

禁值：先写哪些 $x$ 不能取

分母不能为零， $tan x$ 还要求 $cos x \neq = 0$ 。例如 $\frac{sin x}{tan x}$ ： $tan x$ 要有意义，需要 $cos x \neq = 0$ ； $tan x$ 在分母上，还需要 $tan x \neq = 0$ ，即 $sin x \neq = 0$ 。两条合起来就是 $x \neq = \frac{kπ}{2}$ 。这张禁值表要在动笔化简之前写好。

为什么化简后还要带上范围

接着看 $\frac{sin x}{tan x} = sin x \cdot \frac{cos x}{sin x} = cos x$ 。结果 $cos x$ 在 $x = 0$ 处等于 $1$ ，但原式在 $x = 0$ 处是 $\frac{0}{0}$ ，没有意义。所以完整写法是： $\frac{sin x}{tan x} = cos x$ ，其中 $x \neq = \frac{kπ}{2}$ 。化简后的式子范围变大了，范围要用原式的。

通分：平方关系常常让分子变简单

$\frac{sin x}{1 + cos x} + \frac{1 + cos x}{sin x}$ 的范围： $sin x \neq = 0$ ；此时 $cos x \neq = \pm 1$ ，所以 $1 + cos x \neq = 0$ 也成立。通分后分子是 $sin^{2} x + (1 + cos x)^{2} = sin^{2} x + cos^{2} x + 1 + 2 cos x = 2 (1 + cos x)$ 。分母是 $sin x (1 + cos x)$ 。公因式 $1 + cos x$ 不为零，可以约去，结果是 $\frac{2}{sin x}$ ，其中 $x \neq = kπ$ 。

分子可能是分母的固定倍数

把分子的常数 $1$ 或高次项用 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 改写，常能看出公因式。例如 $\frac{1 - sin ^{4} x + cos ^{4} x}{cos ^{2} x}$ ：平方差给出 $1 - sin^{4} x = (1 - sin^{2} x) (1 + sin^{2} x) = cos^{2} x (1 + sin^{2} x)$ ，所以分子是 $cos^{2} x (1 + sin^{2} x + cos^{2} x) = 2 cos^{2} x$ 。范围是 $cos x \neq = 0$ ，这时约去 $cos^{2} x$ ，结果是常数 $2$ 。在 $x = \frac{π}{2}$ 处原式是 $\frac{0}{0}$ ，那里不等于 $2$ ，而是没有意义。

先看一道例题

例 1：切化弦后约分

化简 $\frac{tan x + sin x}{tan x - sin x}$ ，并写出成立的范围。

怎么看出来：

正切和正弦同时出现，分子分母都有公因式 $sin x$ ，先把正切写开。

解：

先写禁值。 $tan x$ 要求 $cos x \neq = 0$ 。分母 $tan x - sin x = \frac{sin x ( 1 - cos x )}{cos x}$ 不能为零，所以 $sin x \neq = 0$ 且 $cos x \neq = 1$ ；而 $cos x = 1$ 时 $sin x = 0$ ，已包含在内。合起来 $x \neq = \frac{kπ}{2}$ 。同样，分子 $tan x + sin x = \frac{sin x ( 1 + cos x )}{cos x}$ 。相除时公因式 $\frac{sin x}{cos x}$ 不为零，可以约去，得 $\frac{1 + cos x}{1 - cos x}$ 。检查： $x = \frac{π}{3}$ 时原式 $\frac{3 + \frac{3}{2}}{3 - \frac{3}{2}} = 3$ ，结果 $\frac{3/2}{1/2} = 3$ 。 $x = π$ 时结果等于 $0$ ，但原式分母为零，这个点不算在内。

答案：

$\frac{1 + cos x}{1 - cos x}$ ，其中 $x \neq = \frac{kπ}{2}$ （ $k$ 为整数）。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$tan x$ 和 $sin x, cos x$ 同时出现，如 $\frac{tan x + sin x}{tan x - sin x}$	先写禁值，再把正切写成正弦除以余弦
给了一个分式的值，分子分母都是 $sin x, cos x$ 的一次式，如 $\frac{2 sin x + cos x}{sin x - cos x} = 3$	确认 $cos x \neq = 0$ ，上下同除 $cos x$ ，化成 $tan x$ 的方程
分式里的 $1$ 或四次项看不出公因式	用 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 和平方差改写，再找公因式
两项相加减，分母不同，如 $tan a + tan b$ 或 $\frac{1}{sin a} - \frac{k}{cos a}$	通分，分子往和差角或辅助角合并（见进阶“和差角、余角与二倍角”）
两个角加起来是 $9 0^{\circ}$ ，如 $\frac{π}{4} + α$ 与 $\frac{π}{4} - α$	用余角把它们换成同一个角（见同一进阶）
三角形里边和正切混在一个式子中	用正弦定理把边换成角，和角换成第三角（见进阶“三角形里的分式”）

三、怎么用

写禁值。例如化简 $\frac{tan x - sin x}{sin x}$ ： $tan x$ 要求 $cos x \neq = 0$ ，分母要求 $sin x \neq = 0$ ，合起来 $x \neq = \frac{kπ}{2}$ 。
把正切写成正弦除以余弦，余切写成余弦除以正弦。这里分子 $tan x - sin x = \frac{sin x}{cos x} - sin x$ 。
通分并提公因式： $\frac{sin x}{cos x} - sin x = \frac{sin x ( 1 - cos x )}{cos x}$ ，所以原式是 $\frac{sin x ( 1 - cos x )}{cos x \cdot sin x}$ 。
约分前查公因式。 $sin x$ 已在禁值表中排除为零，可以约去，得 $\frac{1 - cos x}{cos x}$ 。
写结果时带上原来的范围，并代一个值检查。结果为 $\frac{1 - cos x}{cos x}$ ， $x \neq = \frac{kπ}{2}$ 。取 $x = \frac{π}{3}$ ：原式 $\frac{3 - \frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = 1$ ，结果 $\frac{1/2}{1/2} = 1$ ，相等。 $x = π$ 时结果等于 $- 2$ ，但原式没有意义，所以范围不能丢。

四、再做一道

例 2：由分式的值求正切

已知 $\frac{2 sin x + cos x}{sin x - cos x} = 3$ ，求 $tan x$ 和 $sin x cos x$ 。

怎么看出来：

分子分母都是 $sin x, cos x$ 的一次式，同除 $cos x$ 就只剩 $tan x$ ，但要先确认 $cos x \neq = 0$ 。

解：

若 $cos x = 0$ ，则 $sin x = \pm 1$ ，左边 $= \frac{2 sin x}{sin x} = 2 \neq = 3$ ，所以 $cos x \neq = 0$ 。上下同除 $cos x$ ，设 $t = tan x$ ，得 $\frac{2 t + 1}{t - 1} = 3$ 。分母 $sin x - cos x \neq = 0$ 说明 $t \neq = 1$ 。两边乘 $t - 1$ ： $2 t + 1 = 3 t - 3$ ，所以 $t = 4$ 。由 $sin x = 4 cos x$ 和 $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 得 $17 cos^{2} x = 1$ ，所以 $sin x cos x = 4 cos^{2} x = \frac{4}{17}$ 。检查：把 $sin x = 4 cos x$ 代入原式，得 $\frac{9 cos x}{3 cos x} = 3$ 。

答案：

$tan x = 4$ ， $sin x cos x = \frac{4}{17}$ 。

五、容易错在哪

约去的因子可能为零。约分前要说明它不为零，或把它为零的情况写进禁值并单独看。
化简后的式子在某些点有值，不代表原式在那里有意义。范围始终用原式的，例如 $\frac{sin x}{tan x}$ 在 $x = 0$ 处没有意义，虽然 $cos 0 = 1$ 。
$tan (\frac{π}{2} - x)$ 是 $tan x$ 的倒数，不是 $tan x$ 本身，并且写成倒数时要 $sin x, cos x$ 都不为零。
上下同除 $cos x$ 之前要确认 $cos x \neq = 0$ 。如果它可能为零，先单独代入原式试一次。

进阶：和差角、余角与二倍角 · 先修：本卡基础部分，和差角公式

和差角与二倍角公式

$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ ， $cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$ 。取 $a = b = x$ 得 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ ， $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x$ 。正切通分后恰好出现和角： $tan a + tan b = \frac{sin a cos b + cos a sin b}{cos a cos b} = \frac{sin ( a + b )}{cos a cos b}$ ；同样 $cot a + cot b = \frac{sin ( a + b )}{sin a sin b}$ 。把 $sin 2 x$ 的分母看成 $1 = sin^{2} x + cos^{2} x$ ，当 $cos x \neq = 0$ 时上下同除 $cos^{2} x$ ，得 $sin 2 x = \frac{2 tan x}{1 + tan ^{2} x}$ ， $cos 2 x = \frac{1 - tan ^{2} x}{1 + tan ^{2} x}$ 。

互余角：同一个角的正弦和余弦互换

$a + b = \frac{π}{2}$ 时两角互余。由差角公式， $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ ， $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ 。所以 $tan (\frac{π}{2} - x) = \frac{cos x}{sin x}$ ，要求 $sin x \neq = 0$ 。如果再写成 $\frac{1}{tan x}$ ，还要求 $cos x \neq = 0$ ： $x = \frac{π}{2}$ 时左边 $tan 0 = 0$ ，右边没有意义。正切换成余角后变成倒数，方向不要写反。

辅助角：把 $a sin x + b cos x$ 合成一项

$a, b$ 不全为零时，设 $r = a^{2} + b^{2} > 0$ ，再取角 $φ$ 使 $cos φ = \frac{a}{r}, sin φ = \frac{b}{r}$ ，就有 $a sin x + b cos x = r sin (x + φ)$ ，把右边用和角公式展开就能验证。例如 $sin 2 0^{\circ} + 3 cos 2 0^{\circ} = 2 sin (2 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 2 sin 8 0^{\circ} = 2 cos 1 0^{\circ}$ ，所以 $\frac{sin 2 0 ^{\circ} + 3 cos 2 0 ^{\circ}}{cos 1 0 ^{\circ}} = 2$ 。要证分式是常数 $k$ ，也可以算“分子减 $k$ 倍分母”，看它是否为零。

和差化积与积化和差

把 $sin (x + a)$ 和 $sin (x - a)$ 展开再相加，得 $sin (x + a) + sin (x - a) = 2 sin x cos a$ ；同样 $cos (x + a) + cos (x - a) = 2 cos x cos a$ 。令 $α = x + a, β = x - a$ ，就是 $sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}$ ， $cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}$ 。约去 $cos \frac{α - β}{2}$ 前要确认它不为零。反过来， $2 sin P cos Q = sin (P + Q) + sin (P - Q)$ ，所以两个正切相除可以写成 $\frac{tan P}{tan Q} = \frac{sin ( P + Q ) + sin ( P - Q )}{sin ( P + Q ) - sin ( P - Q )}$ ，要求 $cos P, cos Q, sin Q$ 都不为零。

倍角构成的两个特殊结构

当 $sin 2 x \neq = 0$ 时， $cot x - tan x = \frac{cos ^{2} x - sin ^{2} x}{sin x cos x} = 2 cot 2 x$ ，所以 $tan x = cot x - 2 cot 2 x$ ， $x = \frac{π}{6}$ 时两边都是 $\frac{3}{3}$ 。乘 $2$ 的倍数后，相邻项可以逐项抵消。另一个结构是 $sin x sin (6 0^{\circ} - x) sin (6 0^{\circ} + x) = \frac{1}{4} sin 3 x$ ， $cos x cos (6 0^{\circ} - x) cos (6 0^{\circ} + x) = \frac{1}{4} cos 3 x$ ，展开中间两项再用 $sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x$ 、 $cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x$ 就能证明。两式相除，在三个余弦都不为零时， $tan x tan (6 0^{\circ} - x) tan (6 0^{\circ} + x) = tan 3 x$ 。这个结构也能反过来用：若三个余弦都不为零，且这个乘积等于 $2$ ，则 $tan 3 x = 2$ 。此时 $cos 3 x \neq = 0$ ，由 $sin^{2} 3 x + cos^{2} 3 x = 1$ 上下同除 $cos^{2} 3 x$ ，得 $sin^{2} 3 x = \frac{tan ^{2} 3 x}{1 + tan ^{2} 3 x} = \frac{4}{5}$ 。

例 3：通分后出现和角

求 $tan 1 5^{\circ} + tan 7 5^{\circ}$ 。

怎么看出来：

两个正切相加，通分后分子是和角的正弦； $1 5^{\circ}$ 和 $7 5^{\circ}$ 互余。

解：

由通分公式， $tan 1 5^{\circ} + tan 7 5^{\circ} = \frac{sin 9 0 ^{\circ}}{cos 1 5 ^{\circ} cos 7 5 ^{\circ}} = \frac{1}{cos 1 5 ^{\circ} cos 7 5 ^{\circ}}$ 。由余角， $cos 7 5^{\circ} = sin 1 5^{\circ}$ ；由二倍角， $sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = \frac{1}{2} sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{4}$ 。所以结果是 $4$ 。检查： $tan 1 5^{\circ} = 2 - 3$ ， $tan 7 5^{\circ} = 2 + 3$ ，和是 $4$ 。

答案：

$4$ 。

例 4：切化弦后用辅助角

求 $sin 5 0^{\circ} (1 + 3 tan 1 0^{\circ})$ 。

怎么看出来：

括号里有常数加正切，切化弦后分子是 $cos 1 0^{\circ} + 3 sin 1 0^{\circ}$ ，正好能合成一项。

解：

$cos 1 0^{\circ} \neq = 0$ ，所以 $1 + 3 tan 1 0^{\circ} = \frac{cos 1 0 ^{\circ} + 3 sin 1 0 ^{\circ}}{cos 1 0 ^{\circ}}$ 。由辅助角（ $r = 2$ ），分子 $= 2 sin (1 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = 2 sin 4 0^{\circ}$ 。由余角， $sin 5 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ}$ 。所以原式 $= \frac{2 sin 4 0 ^{\circ} cos 4 0 ^{\circ}}{cos 1 0 ^{\circ}} = \frac{sin 8 0 ^{\circ}}{cos 1 0 ^{\circ}} = 1$ ，最后一步又用了余角 $sin 8 0^{\circ} = cos 1 0^{\circ}$ 。

答案：

$1$ 。

例 5：互余的两个正切

化简 $tan (\frac{π}{4} + α) tan (\frac{π}{4} - α)$ ，并写出成立的范围。

怎么看出来：

两个角加起来是 $\frac{π}{2}$ ，是互余角，一个换成另一个的余切。

解：

设 $u = \frac{π}{4} - α$ ，则 $\frac{π}{4} + α = \frac{π}{2} - u$ 。两个正切都要有意义： $cos u \neq = 0$ ，且 $cos (\frac{π}{2} - u) = sin u \neq = 0$ 。这时 $tan (\frac{π}{2} - u) tan u = \frac{cos u}{sin u} \cdot \frac{sin u}{cos u} = 1$ 。 $cos u = 0$ 即 $α = - \frac{π}{4} + kπ$ ， $sin u = 0$ 即 $α = \frac{π}{4} + kπ$ ，合起来是 $α = \frac{π}{4} + \frac{kπ}{2}$ ，这些值要排除。检查： $α = 0$ 时 $1 \cdot 1 = 1$ ； $α = \frac{π}{4}$ 时 $tan \frac{π}{2}$ 没有意义。

答案：

结果为 $1$ ，其中 $α \neq = \frac{π}{4} + \frac{kπ}{2}$ （ $k$ 为整数）。

进阶：三角形里的分式 · 先修：本卡和差角部分，正弦定理

三角形里：边换成角，和角换成第三角

$△ A BC$ 中， $a, b, c$ 是 $A, B, C$ 的对边。正弦定理说 $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$ 。设这个公共比值为 $m > 0$ ，则 $a = m sin A, b = m sin B, c = m sin C$ ，每条边都能换成正弦，含边的等式每项都有因子 $m$ 时可以约去。又因为 $A + B + C = π$ ，所以 $sin (A + B) = sin C$ 。三个内角的正弦都是正数，可以放心约去；余弦可能为零（直角时），约去前要单独排除。

例 6：边的条件变成正切之比

$△ A BC$ 中， $a cos B - b cos A = \frac{c}{2}$ 。求 $\frac{tan A}{tan B}$ 。

怎么看出来：

每一项都含一条边，用正弦定理全部换成角；要出现正切，就要除以 $cos A cos B$ ，所以要先证它们不为零。

解：

由正弦定理，条件变为 $sin A cos B - sin B cos A = \frac{1}{2} sin C$ 。又 $sin C = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$ 。代入整理，得 $sin A cos B = 3 cos A sin B$ 。若 $cos A = 0$ ，因 $sin A \neq = 0$ ，得 $cos B = 0$ ，三角形不能有两个直角。若 $cos B = 0$ ，因 $sin B \neq = 0$ ，得 $cos A = 0$ ，同样不可能。所以两个余弦都不为零，两边除以 $cos A cos B$ ，得 $tan A = 3 tan B$ 。又 $sin B \neq = 0$ ，所以 $tan B \neq = 0$ ，比值是 $3$ 。检查：取 $tan B = 1, tan A = 3$ 的三角形，代入原条件两边相等。

答案：

$3$ 。

真题

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误区对照

容易误以为

恒有 $1 - cos^{2} x = sin x$ ，因为 $1 - cos^{2} x = sin^{2} x$ 。

应当这样想

非负平方根给 $sin^{2} x = ∣ sin x ∣$ 。例如 $x = 7 π /6$ 时左边为 $1/2$ ，而 $sin x = - 1/2$ ；只有 $sin x \geq 0$ 时才能去掉绝对值。

为什么

平方消去符号，开平方只恢复绝对值；根式化简必须保留角域对应的正负条件。

容易误以为

解 $sin 2 x = sin x$ ，直接除以 $sin x$ 得 $cos x = 1/2$ ，所以 $[0, 2 π)$ 内只有两个解。

应当这样想

应写成 $sin x (2 cos x - 1) = 0$ 。除 $π /3, 5 π /3$ 外，还有 $sin x = 0$ 给出的 $0, π$ ，共四解；右端 $2 π$ 不在区间内。

为什么

约去可能为零的因子会丢根；乘积为零要分别解全部零因子，再按角域筛选和去重。

容易误以为

在 $0 < α, β < π$ 内， $sin α = sin β$ 必有 $α = β$ 。

应当这样想

正弦在整个 $(0, π)$ 上不是单射，还可能 $α + β = π$ 。例如 $α = π /6, β = 5 π /6$ 的正弦同为 $1/2$ ，但角不相等。

为什么

由同函数值反推同输入，需要单射或同一严格单调区间；跨越 $π /2$ 时不能省略互补分支。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 119 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

三角恒等变形

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