培玉 · 一试

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不等式的证明

从这里开始

检查等号是否可达

确认估计本身成立，再把完整的取等条件放回原约束，判断这个界是否真正能达到。

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本专题核心公式速查

互动实验：切线怎样给出界

不等式题的重点是为给定条件选择能保留等号的估计。先看正负、齐次性、对称性和变量之间的联动，再决定用配方、均值、柯西、函数或整体分组。练习时不只记住界，还要说明它为什么对所有可行变量成立，以及何时能够达到。

先修（培玉高中数学）：等式性质与不等式性质基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式导数在研究函数中的应用

知识要点

先查符号与定义域，再动不等号

同乘一个量前先确定它的正负；平方比较前，先确认两边都非负。分母不能为零，开方还要求被开方式非负。若条件只给实数，不能直接使用正数的均值不等式。例如由 $u^{2} \geq v^{2}$ 只能得到 $∣ u ∣ \geq ∣ v ∣$ ；取 $u = - 3, v = 2$ 就能看出它并不推出 $u \geq v$ 。

均值不等式的等号是解题线索

对非负数 $a, b$ ， $a + b \geq 2 ab$ ，其差来自 $(a - b)^{2} \geq 0$ 。定和时控制乘积，定积时控制和；加权使用时，要让各次估计的等号能够同时成立。例如 $t + 9/ t \geq 6$ （ $t > 0$ ），取等须 $t = 9/ t$ ，所以 $t = 3$ 。得到一个界后，仍应把取等值代回原约束。

柯西不等式连接线性式与平方和

实数满足 $(\sum a_{i} b_{i})^{2} \leq (\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2})$ 。分式形式为 $\sum u_{i}^{2} / v_{i} \geq (\sum u_{i})^{2} / (\sum v_{i})$ ，这里要求 $v_{i} > 0$ 。例如 $x^{2} + y^{2} \leq 5$ 时， $(x + 2 y)^{2} \leq 5 (x^{2} + y^{2}) \leq 25$ ，故 $x + 2 y \leq 5$ ；在 $(x, y) = (1, 2)$ 处取等。系数不同的平方项应先拆成加权形式。

齐次式先分清比例和尺度

若各变量同时放大后，目标比值不变，可以除去一个正的公共尺度，例如令变量之和为 $1$ ，或改用 $x / y$ 。归一化必须保留原来的可行性；求得新变量后，也要能够还原原变量。例如 $x, y > 0$ 时， $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{( x + y ) ^{2}} \geq \frac{1}{2}$ ，只取决于比例，等号为 $x = y$ ，不限制它们共同有多大。

对称式用少量对称量整理

设 $s = a + b + c, p = ab + b c + c a, q = ab c$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = s^{2} - 2 p$ 、 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = s^{3} - 3 s p + 3 q$ 。这样能把重复展开变成少量变量的范围问题，但 $s, p, q$ 并非可任意独立取值。例如 $a, b > 0, a + b = 3$ 时， $ab \leq 9/4$ ，所以 $a^{3} + b^{3} = 27 - 9 ab \geq 27/4$ ； $a = b = 3/2$ 同时满足全部条件。

凸凹性必须在实际区间上检查

凸函数满足 $f (\sum p_{i} x_{i}) \leq \sum p_{i} f (x_{i})$ ，其中权重非负且和为 $1$ ；凹函数方向相反。二阶导数是常用判据，也可直接从二点不等式归纳。例：平方根在正数上为凹函数，因此 $1 + 9 = 4 \leq 25$ 。若原条件固定乘积，可先令变量为指数，再检查新函数的凸凹性，不能直接把定积当定和。

最佳常数要同时证明普遍性和不可改进

证明一个常数可用，只完成了一半；还要给出合法的等号例，或趋近该界的序列。开放边界尤其容易混淆最值与上下确界。例如 $0 < t < 1$ 时， $t (1 - t) \leq 1/4$ ，在 $t = 1/2$ 达到最大值；它始终大于 $0$ ，虽能无限接近 $0$ ，却没有最小值。含 $max$ 、 $min$ 的题还应逐一检查分支。

循环与顺序条件要保留整体结构

相邻项的和或积，逐项估计时可能反复使用同一个变量，使等号无法兼顾。先尝试奇偶分组、首尾配对、部分和或差分。例如非负数 $a + b + c + d = 1$ 时， $ab + b c + c d + d a = (a + c) (b + d) \leq 1/4$ 。取 $a = b = 1/2, c = d = 0$ 可达等号；这一步利用的是四项循环的整体分组，而非分别估计四个乘积。

方法卡

证明不等式或求最值：两边作差，配成平方

要证 $A \geq B$ ，就看 $A - B$ ：把它写成几个平方相加，平方不会是负数，不等式就证完了，而且能直接看出什么时候相等。

完整讲解 · 例题 · 可练 74 题

一、是什么

作差：把比较变成看正负

证 $A \geq B$ 等于证 $A - B \geq 0$ ，这样只需要研究一个式子。最简单的例子： $a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} \geq 0$ ，所以 $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ ，并且 $a = b$ 时取到等号。

配方：把差写成平方和

实数的平方不小于 $0$ ，所以几个平方相加也不小于 $0$ 。把同一个字母的项放在一起配方，用的是 $a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2}$ 。例如 $a^{2} + 4 b^{2} - 2 a - 8 b + 5 = (a^{2} - 2 a + 1) + 4 (b^{2} - 2 b + 1) = (a - 1)^{2} + 4 (b - 1)^{2} \geq 0$ 。

平方和为零：等式也能用

平方和等于 $0$ 时，每个平方都等于 $0$ 。因为只要有一个平方大于 $0$ ，加上其余非负的平方，和就大于 $0$ 。所以有时一个等式能定出好几个变量。例如 $(a - b)^{2} + (b - 1)^{2} = 0$ 只能是 $b = 1$ 且 $a = b$ ，也就是 $a = b = 1$ 。

先看一道例题

例 1：按字母配方

证明：对任意实数 $x, y$ ， $x^{2} + y^{2} + 5 \geq 2 x + 4 y$ ，并指出等号何时成立。

怎么看出来：

两边都是多项式，直接作差。代 $x = 1, y = 2$ 时两边都是 $10$ ，所以平方里应有 $x - 1$ 和 $y - 2$ 。

解：

左边减右边： $x^{2} + y^{2} + 5 - 2 x - 4 y = (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) = (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2}$ 。常数 $1 + 4 = 5$ ，和原式一样。两个平方都不小于 $0$ ，所以差不小于 $0$ ，不等式成立。等号要求两个平方都为 $0$ ，即 $x = 1, y = 2$ 。代回：左边 $1 + 4 + 5 = 10$ ，右边 $2 + 8 = 10$ 。

答案：

不等式成立，只在 $x = 1, y = 2$ 时取等号。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
两边相减后是多项式，每个字母单独成组，如 $a^{2} + b^{2} + 2$ 和 $2 a + 2 b$	作差，把同一个字母的项放在一起配方
一个方程有好几个未知数，如 $x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} - 2 x y - 2 yz - 2 z + 1 = 0$	配成几个平方之和等于 $0$ ，每个平方都为 $0$
有交叉项或两两乘积，如 $x^{2} + y^{2} + 1$ 和 $x y + x + y$	先乘 $2$ ，写成 $(x - y)^{2}$ 这样的平方（见进阶“有交叉项：乘 2 再分组”）
根式和另一个式子比较，如 $x^{2} + 1$ 和 $x + 1$	先看另一边的符号，再平方作差（见进阶“根式比较：平方前先看符号”）
条件是二次式，要求 $x + y$ 的范围	设 $s = x + y$ 消去一个变量，让实数解存在，即 $Δ \geq 0$ （见进阶“判别式”）
要求 $k$ 使二次式恒非负，而且变量是整数	先代小整数得到 $k$ 的上界，再分解因式（见进阶“整数变量”）

三、怎么用

把所有项移到一边，得到要证非负的式子。例如证 $a^{2} + b^{2} + 2 \geq 2 a + 2 b$ ，就看 $a^{2} + b^{2} + 2 - 2 a - 2 b$ 。
猜等号：代小数字试一试。这里 $a = b = 1$ 时两边都是 $4$ ，所以平方里应该有 $a - 1$ 和 $b - 1$ 。
按字母分组配方： $(a^{2} - 2 a + 1) + (b^{2} - 2 b + 1) = (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2}$ 。展开核对，常数 $1 + 1 = 2$ ，和原式一样。
下结论：每个平方都不小于 $0$ ，所以差不小于 $0$ ，不等式成立。
写等号：两个平方都为 $0$ ，即 $a = b = 1$ 。代回原式，左边 $1 + 1 + 2 = 4$ ，右边 $2 + 2 = 4$ ，确实相等。

四、再做一道

例 2：一个方程定出三个未知数

实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} - 2 x y - 2 yz - 2 z + 1 = 0$ ，求 $x + y + z$ 。

怎么看出来：

一个方程有三个未知数，一般定不出来，除非它是若干平方之和等于 $0$ 。按 $x \to y \to z$ 的顺序依次配方。

解：

按 $x \to y \to z$ 的顺序分组。含 $x$ 的项是 $x^{2} - 2 x y$ ，补一个 $y^{2}$ 配成 $(x - y)^{2}$ ；这样 $2 y^{2}$ 还剩一个 $y^{2}$ ，和 $- 2 yz$ 一起，补一个 $z^{2}$ 配成 $(y - z)^{2}$ ； $2 z^{2}$ 还剩一个 $z^{2}$ ，和 $- 2 z + 1$ 配成 $(z - 1)^{2}$ 。所以方程就是 $(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - 1)^{2} = 0$ 。每个平方都为 $0$ ，得 $z = 1$ ， $y = z = 1$ ， $x = y = 1$ 。代回： $1 + 2 + 2 - 2 - 2 - 2 + 1 = 0$ ，成立。

答案：

$x + y + z = 3$ 。

五、容易错在哪

只代几个数验证成立，不能算证明；要写出平方和这样对所有取值都成立的理由。
配方后要展开核对常数项。常数对不上时，差会多出或少一个数，平方和的结论就不成立。
配方写完后要检查等号条件能否同时满足，也要确认等号点满足题目的约束。
两边平方前没有确认都非负，负数的情况就会算错或漏掉一段解。例如 $- 3 < 2$ ，但 $9 > 4$ 。
判别式为正不代表结论一定错。变量受整数或区间限制时，要再看负值落在哪里（见进阶“整数变量”）。

进阶：有交叉项：乘 2 再分组

有交叉项：先乘 2 再分组

有 $x y$ 这样的交叉项时，每个变量的平方常要用两次。 $(x - y)^{2}$ 里有 $- 2 x y$ ，所以先把差乘 $2$ ，让系数够分。例如 $x^{2} + y^{2} + 1 - x y - x - y = \frac{1}{2} [(x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}]$ ，展开右边可以核对。三个平方都为 $0$ 时等号成立，这里就是 $x = y = 1$ 。常用的恒等式是 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a = \frac{1}{2} [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}]$ 。

例 3：乘 2 再分组

证明：对任意实数 $x, y$ ， $x^{2} + y^{2} + 1 \geq x y + x + y$ ，并指出等号何时成立。

怎么看出来：

两边都是多项式，直接作差。代 $x = y = 1$ 两边都是 $3$ ，所以平方里应有 $x - y, x - 1, y - 1$ 。

解：

左边减右边，再乘 $2$ ： $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 - 2 x y - 2 x - 2 y = (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 2 y + 1) = (x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \geq 0$ 。所以不等式成立。等号要求三个平方都为 $0$ ，即 $x = y = 1$ 。

答案：

不等式成立，只在 $x = y = 1$ 时取等号。

进阶：根式比较：平方前先看符号

平方比较：先确认两边非负

$A, B$ 都非负时， $A \geq B$ 才等价于 $A^{2} \geq B^{2}$ 。负数平方后大小可能反过来： $- 3 < 2$ ，但 $9 > 4$ 。所以根式比较要先看另一边的符号，另一边为负时不等式自动成立，非负时才平方。

例 4：根式比较：另一边可能为负

证明：对任意实数 $x$ ， $x^{2} + 1 \geq \frac{x + 1}{2}$ 。

怎么看出来：

右边可能是负数，不能直接平方，所以按 $x + 1$ 的符号分情况。

解：

当 $x < - 1$ 时，右边为负、左边为正，自动成立。当 $x \geq - 1$ 时，两边都非负，平方后要证 $x^{2} + 1 \geq \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2}$ ，即 $2 x^{2} + 2 - x^{2} - 2 x - 1 = (x - 1)^{2} \geq 0$ ，成立。两种情况合起来就证完了。

答案：

不等式成立，只在 $x = 1$ 时取等号，此时两边都等于 $2$ 。

进阶：判别式 · 先修：一元二次方程的判别式、根与系数的关系

判别式：把式子看成某一个变量的二次式

固定其他变量，把式子看成 $a x^{2} + b x + c$ 。因为 $a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}$ ，所以 $a > 0$ 且判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c \leq 0$ 时，它对所有实数 $x$ 都非负。例如 $x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} - 2 y + 1$ 看成 $x$ 的二次式， $Δ = 4 y^{2} - 4 (3 y^{2} - 2 y + 1) = - 4 (2 y^{2} - 2 y + 1) < 0$ ，所以它恒为正。反过来，若方程有实数解，就要求 $Δ \geq 0$ ，这能求出参数范围。

例 5：用判别式求范围

实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + x y + y^{2} = 3$ ，求 $x + y$ 的最大值。

怎么看出来：

条件是二次式，目标是 $x + y$ 。设 $s = x + y$ 后， $x, y$ 的和与积都能用 $s$ 表示， $x, y$ 是实数就给出 $Δ \geq 0$ 。

解：

$x^{2} + x y + y^{2} = (x + y)^{2} - x y = s^{2} - x y = 3$ ，所以 $x y = s^{2} - 3$ 。和为 $s$ 、积为 $s^{2} - 3$ 的两个数 $x, y$ ，正是方程 $t^{2} - s t + s^{2} - 3 = 0$ 的两个根，因为 $(t - x) (t - y) = t^{2} - (x + y) t + x y$ 。 $x, y$ 是实数，所以 $Δ = s^{2} - 4 (s^{2} - 3) = 12 - 3 s^{2} \geq 0$ ，得 $s^{2} \leq 4$ ，即 $s \leq 2$ 。 $x = y = 1$ 时 $1 + 1 + 1 = 3$ 满足条件，且 $s = 2$ 。

答案：

最大值为 $2$ 。

进阶：整数变量

整数变量：判别式大于零不一定失败

判别式为正只说明实数范围内有负值，这些负值可能落在两个相邻整数之间。例如 $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ 的 $Δ = 1 > 0$ ，它只在 $1 < x < 2$ 时为负，而这个区间里没有整数，所以对所有整数 $x$ 都有 $x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$ 。

例 6：整数变量下的最大常数

求最大的常数 $k$ ，使 $x^{2} + 2 \geq k x$ 对所有整数 $x$ 都成立。

怎么看出来：

如果 $x$ 可取实数，判别式 $k^{2} - 8 \leq 0$ 给出 $k \leq 22$ 。但 $x$ 只取整数，不等式可以在整数之间不成立，所以要先用具体整数找上界。

解：

取 $x = 1$ 得 $3 \geq k$ 。再验证 $k = 3$ 可行： $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ ，它只在 $1 < x < 2$ 时为负，而这个范围内没有整数，所以对所有整数 $x$ 都有 $x^{2} + 2 \geq 3 x$ 。上界 $3$ 可以取到。

答案：

$k_{m a x} = 3$ ，比实数情形的 $22$ 大。

真题

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平方和与线性式、分式和互相估计：用柯西不等式

把式子拆成两组数，两组数各自平方求和再相乘，不会小于它们对应相乘之和的平方。两组数成比例时取等号，比例还能告诉你最值在哪里。

完整讲解 · 例题 · 可练 71 题

一、是什么

柯西不等式是什么

三个数一组时写成 $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}) \geq (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3})^{2}$ ，各数都是实数。每组两个数时可以直接验证： $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) - (a c + b d)^{2} = (a d - b c)^{2} \geq 0$ 。 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 不全为 $0$ 时，等号成立就是存在数 $λ$ ，使 $b_{1} = λ a_{1}, b_{2} = λ a_{2}, b_{3} = λ a_{3}$ ，也就是两组数对应成比例。

为什么成立

$a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 全为 $0$ 时两边都是 $0$ 。否则，对任意实数 $t$ ， $(a_{1} t - b_{1})^{2} + (a_{2} t - b_{2})^{2} + (a_{3} t - b_{3})^{2} \geq 0$ 。展开得 $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) t^{2} - 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) t + (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}) \geq 0$ 。记 $A = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} > 0$ ， $B = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ ， $C = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}$ ，这就是 $A t^{2} - 2 Bt + C \geq 0$ 对所有 $t$ 成立。首项系数为正的二次式恒不小于 $0$ ，判别式不能为正： $(2 B)^{2} - 4 A C \leq 0$ ，即 $B^{2} \leq A C$ ，这正是要证的不等式。判别式等于 $0$ 时有 $t$ 使三个平方都为 $0$ ，这就是等号的比例条件。

线性式与平方和互相控制

把系数放进一组，变量放进另一组。例如 $(x^{2} + y^{2} + z^{2}) (1^{2} + 2^{2} + 2^{2}) \geq (x + 2 y + 2 z)^{2}$ 。已知线性式就能给平方和下界，已知平方和就能给线性式上界。

先看一道例题

例 1：已知平方和，求线性式最大值

实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ ，求 $x + 2 y + 2 z$ 的最大值。

怎么看出来：

已知平方和，要估计线性式。变量放一组，系数 $1, 2, 2$ 放一组。

解：

$(1^{2} + 2^{2} + 2^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq (x + 2 y + 2 z)^{2}$ ，即 $(x + 2 y + 2 z)^{2} \leq 9 \times 9 = 81$ ，所以 $x + 2 y + 2 z \leq 9$ 。等号要求 $x : 1 = y : 2 = z : 2$ ，设 $x = t, y = z = 2 t$ ，代入条件得 $9 t^{2} = 9$ 。要让 $x + 2 y + 2 z$ 为正，取 $t = 1$ ，即 $x = 1, y = z = 2$ 。代回： $1 + 4 + 4 = 9$ ，满足； $x + 2 y + 2 z = 1 + 4 + 4 = 9$ 。

答案：

最大值为 $9$ ，在 $x = 1, y = z = 2$ 时取到。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
已知平方和求线性式，如 $x^{2} + y^{2} = 5$ 求 $x + 2 y$ ；或已知线性式求平方和	系数放一组，变量放一组，一边就是已知量
两个和相乘，如 $(a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$	把每个括号写成平方和，对应相乘得到常数
条件带系数，如 $2 x^{2} + 3 y^{2} \leq 6$ 求 $x + y$ ；或根式相加，如 $x - 1 + 2 5 - x$	把系数拆进去凑出条件式，根式放一组（见进阶“条件带系数与根式”）
若干分式相加，分子是平方或常数，分母之和已知	用分式形式合并，分母必须为正（见进阶“分式形式”）
条件是平方和，平方里带平移，如 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5$ 求 $x + 2 y$	把目标写成平方里那些量的线性式（见进阶“平移与取值范围”）

三、怎么用

写出已知的量和要估计的量。例如 $x^{2} + y^{2} = 5$ ，求 $x + 2 y$ 的最大值：已知平方和，要估计线性式。
选好两组数： $x, y$ 一组，系数 $1, 2$ 一组。这样 $x^{2} + y^{2}$ 是已知量，对应相乘是 $x + 2 y$ 。
写出不等式并算界： $(1^{2} + 2^{2}) (x^{2} + y^{2}) \geq (x + 2 y)^{2}$ ，即 $(x + 2 y)^{2} \leq 5 \times 5 = 25$ ，所以 $- 5 \leq x + 2 y \leq 5$ 。要最大值就看 $5$ 。
用比例写等号条件： $x : 1 = y : 2$ ，即 $y = 2 x$ 。代入条件得 $5 x^{2} = 5$ ，要让 $x + 2 y$ 为正，取 $x = 1, y = 2$ 。
代回全部条件： $1 + 4 = 5$ ，满足； $x + 2 y = 1 + 4 = 5$ ，界确实取到。

四、再做一道

例 2：两个和相乘

$a, b, c > 0$ ，证明 $(a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9$ 。

怎么看出来：

这次没有现成的平方。两个括号相乘，每个都能写成平方和： $a = (a)^{2}$ ， $\frac{1}{a} = (\frac{1}{a})^{2}$ ，对应相乘正好是 $1$ 。

解：

取两组数 $a, b, c$ 和 $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ ，由柯西不等式，左边 $\geq (a \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} + c \cdot \frac{1}{c})^{2} = (1 + 1 + 1)^{2} = 9$ 。等号要求对应成比例： $a : \frac{1}{a} = b : \frac{1}{b} = c : \frac{1}{c}$ ，也就是 $a = b = c$ 。检查： $a = b = c = 1$ 时 $3 \times 3 = 9$ 。

答案：

不等式成立，只在 $a = b = c$ 时取等号。

五、容易错在哪

由 $(x + y)^{2} \leq 5$ 得到的是 $- 5 \leq x + y \leq 5$ ，求最大值或最小值时要选对符号。
由比例解出的等号点可能不满足题目条件，一定要代回。
逐项用柯西再相加时，各项的等号比例可能互相矛盾，这时最后的界达不到，要重新配系数。
分式形式要求每个分母都为正。等号也要检查： $x, y > 0, x + y = 3$ 时， $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} \geq \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ ，但等号要求 $y = 0$ ，所以这个界取不到。

进阶：条件带系数与根式

条件带系数：先把系数拆进去

条件是 $2 x^{2} + 3 y^{2} \leq 6$ 时，要让第一组的平方和恰好是条件式，所以写 $x + y = \frac{1}{2} \cdot 2 x + \frac{1}{3} \cdot 3 y$ 。于是 $(x + y)^{2} \leq (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) (2 x^{2} + 3 y^{2}) \leq 5$ ，得 $∣ x + y ∣ \leq 5$ 。

例 3：一元根式函数的最大值

求 $x - 1 + 2 5 - x$ 的最大值。

怎么看出来：

两个被开方式相加是常数： $(x - 1) + (5 - x) = 4$ 。所以把根式放在一组，系数 $1, 2$ 放在另一组， $x$ 就消掉了。

解：

定义域是 $1 \leq x \leq 5$ 。 $(1 \cdot x - 1 + 2 \cdot 5 - x)^{2} \leq (1 + 4) [(x - 1) + (5 - x)] = 20$ ，又因为式子非负，所以它不超过 $25$ 。等号要求 $5 - x = 2 x - 1$ ，即 $5 - x = 4 (x - 1)$ ， $x = \frac{9}{5}$ ，在定义域内。检查： $\frac{4}{5} + 2 \frac{16}{5} = \frac{2 + 8}{5} = 25$ 。

答案：

最大值为 $25$ ，在 $x = \frac{9}{5}$ 时取到。

进阶：分式形式

分式形式：分子是平方时合并

分母都为正时， $\frac{u _{1}^{2}}{v _{1}} + \frac{u _{2}^{2}}{v _{2}} \geq \frac{( u _{1} + u _{2} ) ^{2}}{v _{1} + v _{2}}$ 。这是柯西不等式取 $a_{1} = \frac{u _{1}}{v _{1}}, a_{2} = \frac{u _{2}}{v _{2}}, b_{1} = v_{1}, b_{2} = v_{2}$ 的结果： $(\frac{u _{1}^{2}}{v _{1}} + \frac{u _{2}^{2}}{v _{2}}) (v_{1} + v_{2}) \geq (u_{1} + u_{2})^{2}$ ，两边除以 $v_{1} + v_{2}$ 。等号在 $\frac{u _{1}}{v _{1}} = \frac{u _{2}}{v _{2}}$ 时成立。例如 $0 < x < 1$ 时， $\frac{1}{x} + \frac{4}{1 - x} \geq \frac{( 1 + 2 ) ^{2}}{x + 1 - x} = 9$ ， $x = \frac{1}{3}$ 时取等号。

例 4：分式合并

$a, b, c > 0$ ，证明 $\frac{a ^{2}}{b} + \frac{b ^{2}}{c} + \frac{c ^{2}}{a} \geq a + b + c$ 。

怎么看出来：

分子都是平方，分母都是正数，正好用分式形式；合并后分子分母都含 $a + b + c$ ，可以约掉。

解：

$\frac{a ^{2}}{b} + \frac{b ^{2}}{c} + \frac{c ^{2}}{a} \geq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{b + c + a} = a + b + c$ 。等号要求 $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$ 。这三个比值的积为 $1$ ，所以都等于 $1$ ，即 $a = b = c$ 。

答案：

不等式成立，只在 $a = b = c$ 时取等号。

进阶：交叉项

二次式带交叉项：先配方或换元

条件里有 $x y$ 这样的交叉项时，柯西用不上，先变成平方和。例如 $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = (x + y)^{2} + y^{2}$ ，再把目标 $x + 2 y$ 写成 $(x + y) + y$ ，就有 $(x + 2 y)^{2} \leq 2 [(x + y)^{2} + y^{2}]$ 。

例 5：目标带交叉项

实数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 3$ ，求 $x^{2} + x y + y^{2} + z^{2}$ 的最小值。

怎么看出来：

有交叉项 $x y$ ，柯西用不上。条件里 $x, y$ 只以 $x + y$ 出现，所以设 $p = x + y, q = x - y$ ，把交叉项去掉。

解：

$p^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ， $q^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ ，所以 $\frac{3}{4} p^{2} + \frac{1}{4} q^{2} = x^{2} + x y + y^{2}$ 。于是目标不小于 $\frac{3}{4} p^{2} + z^{2}$ ， $q = 0$ 时取等号。条件变成 $p + z = 3$ 。把 $p$ 写成 $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} p$ ： $9 = (p + z)^{2} \leq (\frac{4}{3} + 1) (\frac{3}{4} p^{2} + z^{2})$ ，所以 $\frac{3}{4} p^{2} + z^{2} \geq \frac{27}{7}$ 。等号要求 $z = \frac{3}{4} p$ ，与 $p + z = 3$ 联立得 $p = \frac{12}{7}, z = \frac{9}{7}$ ，于是 $x = y = \frac{6}{7}$ 。检查： $\frac{36 + 36 + 36 + 81}{49} = \frac{189}{49} = \frac{27}{7}$ 。

答案：

最小值为 $\frac{27}{7}$ 。

进阶：等号定出变量

等号能直接定出变量

如果给的数恰好让柯西取等号，变量就被比例定死了。例如 $a + 2 b = 4, a^{2} + 4 b^{2} = 8$ ： $(a + 2 b)^{2} = 16 = 2 (a^{2} + 4 b^{2})$ ，等号成立，所以 $a = 2 b$ ，得 $a = 2, b = 1$ 。

进阶：n 个数的版本

$n$ 个数的版本与求和记号

每组 $n$ 个数时不等式同样成立，证明时把 $t$ 的二次式写到第 $n$ 项，其余一字不变。求和记号 $\sum a_{i} b_{i}$ 表示把 $a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n}$ 都加起来，所以它也写成 $(\sum a_{i}^{2}) (\sum b_{i}^{2}) \geq (\sum a_{i} b_{i})^{2}$ 。

进阶：平移与取值范围

例 6：圆上线性式的范围

实数 $x, y$ 满足 $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5$ ，求 $x + 2 y$ 的取值范围。

怎么看出来：

条件是平方和，但平方里是 $x - 1, y + 2$ 。所以先把目标也写成它们的线性式，剩下的是常数。

解：

$x + 2 y = (x - 1) + 2 (y + 2) - 3$ 。设 $u = x - 1, v = y + 2$ ，则 $u^{2} + v^{2} = 5$ 。由柯西， $(u + 2 v)^{2} \leq (1 + 4) \times 5 = 25$ ，所以 $- 5 \leq u + 2 v \leq 5$ ，得 $- 8 \leq x + 2 y \leq 2$ 。端点： $u = 1, v = 2$ 即点 $(2, 0)$ 给出 $2$ ； $u = - 1, v = - 2$ 即点 $(0, - 4)$ 给出 $- 8$ 。中间的值也都取得到：任给 $s \in [- 5, 5]$ ，要 $u + 2 v = s$ ，把 $u = s - 2 v$ 代入 $u^{2} + v^{2} = 5$ ，得 $5 v^{2} - 4 s v + s^{2} - 5 = 0$ ，判别式 $16 s^{2} - 20 (s^{2} - 5) = 100 - 4 s^{2} \geq 0$ ，所以有实数解 $v$ ，再得 $u$ 。

答案：

$x + 2 y \in [- 8, 2]$ 。

真题

按这个方法练 · 71 题

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正数的和与积互相估计：拆项配平，用基本不等式

正数的平均数不小于它们的几何平均，各项相等时取等号。积固定就能估计和，和固定就能估计积；难点是拆项，让各项的积是常数而且能够相等。

完整讲解 · 例题 · 可练 59 题

一、是什么

基本不等式是什么

对非负数 $a, b$ ， $\frac{a + b}{2} \geq ab$ ，因为 $a + b - 2 ab = (a - b)^{2} \geq 0$ ， $a = b$ 时取等号。积固定时估计和： $t > 0$ 时 $t + \frac{9}{t} \geq 29 = 6$ ， $t = 3$ 时取等号。和固定时估计积： $a, b \geq 0, a + b = 4$ 时 $ab \leq 2$ ，所以 $ab \leq 4$ 。

拆项：让积变成常数

$x + \frac{4}{x - 1}$ 的两项相乘不是常数，但减去 $1$ 就是： $(x - 1) + \frac{4}{x - 1} + 1$ 。当 $x > 1$ 时，前两项相乘等于 $4$ ，所以这个式子不小于 $24 + 1 = 5$ 。

负数不能直接用

基本不等式只对非负数成立。 $a < 0$ 时， $a + \frac{1}{a} \leq - 2$ ，方向相反：取 $a = - 1$ ，和是 $- 2$ 。条件只说实数时，先判断符号。

先看一道例题

例 1：积是常数

$x > 0$ ，求 $4 x + \frac{1}{x}$ 的最小值。

怎么看出来：

两项都是正数，积 $4 x \cdot \frac{1}{x} = 4$ 是常数。

解：

$4 x$ 和 $\frac{1}{x}$ 都是正数，所以 $4 x + \frac{1}{x} \geq 2 4 x \cdot \frac{1}{x} = 24 = 4$ 。等号要求 $4 x = \frac{1}{x}$ ，即 $x^{2} = \frac{1}{4}$ ，由 $x > 0$ 得 $x = \frac{1}{2}$ 。检查： $2 + 2 = 4$ 。

答案：

最小值为 $4$ ，在 $x = \frac{1}{2}$ 时取到。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
互为倒数的项，如 $t + \frac{9}{t}$	积是常数，直接用基本不等式
差一点才是互为倒数，如 $x + \frac{4}{x - 1}$	减去一个常数，凑成同一个式子
和是常数，要求分式和的最小值，如 $x + y = 1$ 时 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$	乘 $x + y$ 展开，出现互为倒数的项（见进阶“乘 1”）
和是常数，要求乘积的最大值，次数不同，如 $x^{2} y$	用重复项，让每一项能够相等（见进阶“三个数：重复项”）
同时有 $ab$ 和 $a + b$ ，如 $ab = a + b + 3$	用 $a + b \geq 2 ab$ ，解出关于 $ab$ 的不等式（见进阶“和与积互相转化”）

三、怎么用

确认各项都是正数或非负数。例如求 $t + \frac{9}{t}$ （ $t > 0$ ）的最小值， $t$ 和 $\frac{9}{t}$ 都是正数。
猜等号：两项相等时最可能取到。 $t = \frac{9}{t}$ 给出 $t = 3$ 。
看两项的积是不是常数： $t \cdot \frac{9}{t} = 9$ ，是常数。不是常数时，先拆项凑出来。
写不等式： $t + \frac{9}{t} \geq 2 t \cdot \frac{9}{t} = 29 = 6$ 。
把等号点代回： $t = 3$ 满足 $t > 0$ ， $3 + 3 = 6$ ，所以最小值就是 $6$ 。等号点超出范围时，这个界达不到，要换方法。

四、再做一道

例 2：减常数凑定积

$x > 1$ ，求 $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值。

怎么看出来：

这次积不是常数： $x \cdot \frac{4}{x - 1}$ 还带着 $x$ 。分母是 $x - 1$ ，所以把前面的 $x$ 也写成 $x - 1$ ，多出来的常数放到外面。

解：

$x - 1 > 0$ ，所以 $x + \frac{4}{x - 1} = (x - 1) + \frac{4}{x - 1} + 1$ 。前两项是正数，积为 $4$ ，所以它们的和不小于 $24 = 4$ ，原式不小于 $4 + 1 = 5$ 。等号要求 $x - 1 = \frac{4}{x - 1}$ ，即 $(x - 1)^{2} = 4$ ，由 $x > 1$ 得 $x = 3$ 。检查： $3 + \frac{4}{2} = 5$ 。

答案：

最小值为 $5$ ，在 $x = 3$ 时取到。

五、容易错在哪

对负数使用基本不等式。 $a < 0$ 时 $a + \frac{1}{a} \leq - 2$ ，不是不小于 $2$ 。
只写不等式、不看等号。 $x \geq 2$ 时 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ 没错，但等号要 $x = 1$ ，取不到。最小值其实是 $\frac{5}{2}$ ，因为 $x + \frac{1}{x} - \frac{5}{2} = \frac{( 2 x - 1 ) ( x - 2 )}{2 x} \geq 0$ 。
多次使用时，各次等号可能不能同时成立，这时相加或相乘得到的界达不到。
为了凑形式随手丢掉一项，界可能变松。求最值时丢掉的项在等号处必须等于 $0$ 。

进阶：乘 1

乘 1：把条件乘进去

$x, y > 0, x + y = 1$ 时，式子乘 $x + y$ 不改变大小： $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = (x + y) (\frac{1}{x} + \frac{4}{y}) = 5 + \frac{y}{x} + \frac{4 x}{y} \geq 5 + 24 = 9$ 。这样带条件的问题就变成积为常数的问题。

例 3：条件是分式，目标是和

$x, y > 0, \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ，求 $x + y$ 的最小值。

怎么看出来：

这回分式和等于 $1$ ，目标是 $x + y$ 。乘 $1$ 的方向反过来：把 $x + y$ 乘上这个等于 $1$ 的分式和。

解：

$x + y = (x + y) (\frac{1}{x} + \frac{4}{y}) = 5 + \frac{y}{x} + \frac{4 x}{y} \geq 5 + 2 \frac{y}{x} \cdot \frac{4 x}{y} = 9$ 。等号要求 $\frac{y}{x} = \frac{4 x}{y}$ ，即 $y = 2 x$ ，代入条件得 $\frac{1}{x} + \frac{2}{x} = 1$ ， $x = 3, y = 6$ 。检查： $\frac{1}{3} + \frac{4}{6} = 1$ ， $3 + 6 = 9$ 。

答案：

最小值为 $9$ ，在 $x = 3, y = 6$ 时取到。

进阶：三个数：重复项

三个数的版本

对非负数 $a, b, c$ ， $a + b + c \geq 3 3 ab c$ 。令 $a = x^{3}, b = y^{3}, c = z^{3}$ ，由 $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x yz = \frac{1}{2} (x + y + z) [(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}] \geq 0$ 得到。 $a = b = c$ 时取等号。更一般地， $n$ 个非负数的算术平均不小于几何平均，这叫均值不等式。

重复项：让各项能够相等

$x, y \geq 0, x + y = 3$ 时估计 $x^{2} y$ 。直接用 $x \cdot x \cdot y$ 时和是 $2 x + y$ ，不是常数。把 $x$ 拆成两个 $\frac{x}{2}$ ： $\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + y = 3$ ，它们的积是 $\frac{x ^{2} y}{4}$ 。三个数的平均不小于几何平均，所以 $\frac{x ^{2} y}{4} \leq (\frac{3}{3})^{3} = 1$ ， $x^{2} y \leq 4$ 。等号要求 $\frac{x}{2} = y$ ，即 $x = 2, y = 1$ 。“非负”不能省： $x = - 2, y = 5$ 时和仍是 $3$ ， $x^{2} y = 20$ 。

例 4：重复项

$x, y > 0, x + y = 3$ ，求 $x^{2} y$ 的最大值。

怎么看出来：

要让和不变，而 $x$ 在积里出现两次，就把 $x$ 拆成两个 $\frac{x}{2}$ ，这样三项之和仍是 $3$ 。

解：

$3 = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + y \geq 3 3 \frac{x ^{2} y}{4}$ ，所以 $\frac{x ^{2} y}{4} \leq 1$ ， $x^{2} y \leq 4$ 。等号要求 $\frac{x}{2} = y$ ，再由 $x + y = 3$ 得 $x = 2, y = 1$ 。检查： $2^{2} \times 1 = 4$ 。

答案：

最大值为 $4$ 。

进阶：倒推系数

倒推系数：先想好等号在哪

估计 $\frac{x y + 2 yz}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}$ 时， $y^{2}$ 要分给两对： $x^{2} + λ y^{2} \geq 2 λ x y$ ， $(1 - λ) y^{2} + z^{2} \geq 2 1 - λ yz$ 。为了让右边合成 $x y + 2 yz$ 的倍数，要 $2 λ : 2 1 - λ = 1 : 2$ ，解得 $λ = \frac{1}{5}$ 。

例 5：倒推权重

$x, y, z$ 为正数，求 $\frac{x y + 2 yz}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}$ 的最大值。

怎么看出来：

分子有两对乘积，都带 $y$ ，所以把 $y^{2}$ 分成两份，让两次估计合起来恰好是 $x y + 2 yz$ 的倍数。

解：

取 $λ = \frac{1}{5}$ ： $x^{2} + \frac{1}{5} y^{2} \geq \frac{2}{5} x y$ ， $\frac{4}{5} y^{2} + z^{2} \geq \frac{4}{5} yz$ 。相加得 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{2}{5} (x y + 2 yz)$ ，所以比值不超过 $\frac{5}{2}$ 。等号要求 $x = \frac{y}{5}, z = \frac{2 y}{5}$ ，这两个条件可以同时满足。取 $x = 1, y = 5, z = 2$ ：分子 $5 + 45 = 55$ ，分母 $1 + 5 + 4 = 10$ ，比值 $\frac{5}{2}$ 。

答案：

最大值为 $\frac{5}{2}$ 。

进阶：和与积互相转化

例 6：和与积互相转化

$a, b > 0$ 且 $ab = a + b + 3$ ，求 $ab$ 的最小值。

怎么看出来：

条件同时有 $ab$ 和 $a + b$ 。把 $a + b$ 放小成 $2 ab$ ，就只剩一个未知量。

解：

设 $t = ab > 0$ 。由 $a + b \geq 2 t$ 得 $t^{2} = a + b + 3 \geq 2 t + 3$ ，即 $(t - 3) (t + 1) \geq 0$ 。因为 $t + 1 > 0$ ，所以 $t \geq 3$ ， $ab \geq 9$ 。等号要求 $a = b$ ，代入条件得 $a^{2} = 2 a + 3$ ，正数解 $a = 3$ 。检查： $3 \times 3 = 3 + 3 + 3$ 。

答案：

最小值为 $9$ ，在 $a = b = 3$ 时取到。

真题

按这个方法练 · 59 题

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齐次式、比值和对称式：归一化或换元，减少变量

很多不等式真正起作用的只是变量之间的比值，或者少数几个对称的量。把它们设成新变量，变量就少了，同时要写清新变量的范围。

完整讲解 · 例题 · 可练 65 题

一、是什么

齐次：只和比值有关

如果多项式每一项的次数都相同（这叫齐次），所有变量同乘正数 $k$ ，分子分母次数相同的分式值不变： $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab}$ 把 $a, b$ 换成 $ka, kb$ ，分子分母都多一个 $k^{2}$ ，约掉后还是原值。所以这个值只和比值 $\frac{a}{b}$ 有关。

比值换元

分子分母同除 $b^{2}$ ，设 $t = \frac{a}{b}$ ，式子就只含 $t$ ： $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab} = t + \frac{1}{t}$ 。 $a, b > 0$ 时 $t > 0$ ，一定要把范围写上；如果还有条件 $a \geq 2 b$ ，范围就变成 $t \geq 2$ 。

先看一道例题

例 1：比值换元

$a, b > 0$ ，求 $\frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{ab}$ 的最小值。

怎么看出来：

分子分母都是 $2$ 次，同除 $b^{2}$ ，设 $t = \frac{a}{b} > 0$ 。

解：

分子分母同除 $b^{2}$ ：原式 $= \frac{t ^{2} + t + 1}{t} = t + 1 + \frac{1}{t}$ ，其中 $t > 0$ 。 $t + \frac{1}{t} \geq 21 = 2$ ，所以原式 $\geq 3$ ， $t = 1$ 时取等号。 $t = 1$ 就是 $a = b$ 。检查： $a = b = 1$ 时 $\frac{1 + 1 + 1}{1} = 3$ 。

答案：

最小值为 $3$ ，在 $a = b$ 时取到。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
分子分母次数相同，如 $\frac{a ^{2} + 4 b ^{2}}{ab}$	设比值 $t = \frac{a}{b}$ ，变成一元问题
恒成立里 $a, b$ 都能除掉，如 $a^{2} + 3 b^{2} \geq λb (a + b)$	同除 $b^{2}$ ，把 $λ$ 留在一边，看 $t$ 的式子的最小值
分式的分母是几个变量的和，如 $\frac{a}{b + c}$	把分母设成新变量，再把 $a$ 还原出来（见进阶“分母设为新变量”）
$a, b$ 对称且有 $a + b$ 或 $ab$	用 $p, q$ 表示，同时写出 $p^{2} \geq 4 q$ （见进阶“和与积”）
有 $ab c = 1$ 或 $l g a + l g b + l g c = 0$	设 $a = \frac{x}{y}$ 等（见进阶“倒数、根式和乘积条件”）
一部分只和比值有关，另一部分还和大小有关，如 $x^{2} + 4 y^{2} + \frac{1}{x y}$	先定比例，代回去后继续求变量的大小（见同名进阶）

三、怎么用

看式子是否齐次。例如 $a, b > 0$ ，求 $\frac{a ^{2} + 4 b ^{2}}{ab}$ 的最小值：分子分母都是 $2$ 次。
选新变量。 $b > 0$ ，可以同除 $b^{2}$ 。设 $t = \frac{a}{b}$ ，原式 $= \frac{t ^{2} + 4}{t} = t + \frac{4}{t}$ 。
写新变量的范围和还原公式： $t > 0$ ， $a = t b$ 。
在新变量下求解： $t + \frac{4}{t} \geq 24 = 4$ ， $t = 2$ 时取等号。
还原检查： $t = 2$ 就是 $a = 2 b$ ，取 $a = 2, b = 1$ ，原式 $= \frac{4 + 4}{2} = 4$ 。这里求的是比值式，比例定下来就够了。

四、再做一道

例 2：恒成立求参数

$a^{2} + 3 b^{2} \geq λb (a + b)$ 对所有正数 $a, b$ 成立，求 $λ$ 的最大值。

怎么看出来：

每项都是 $2$ 次，同除 $b^{2}$ ，只剩比值 $t = \frac{a}{b}$ 。这次分母是 $t + 1$ ，要再换一次元。

解：

同除 $b^{2}$ 得 $t^{2} + 3 \geq λ (t + 1)$ ， $t + 1 > 0$ ，所以它等价于 $λ \leq \frac{t ^{2} + 3}{t + 1}$ （ $t > 0$ ）。设 $u = t + 1 > 1$ ，则 $t = u - 1$ ， $t^{2} + 3 = u^{2} - 2 u + 4$ ，所以 $\frac{t ^{2} + 3}{t + 1} = u + \frac{4}{u} - 2 \geq 24 - 2 = 2$ ， $u = 2$ （即 $t = 1$ ）时取等号。所以 $λ \leq 2$ 。验证 $λ = 2$ ： $a^{2} + 3 b^{2} - 2 ab - 2 b^{2} = (a - b)^{2} \geq 0$ 。

答案：

$λ_{m a x} = 2$ 。

五、容易错在哪

换元后忘了写范围。 $t = \frac{a}{b}$ 不一定取遍所有正数，有条件 $a \geq 2 b$ 时只能 $t \geq 2$ 。
除以某个量之前，要确认它严格为正；除以负数时不等号方向会变。
写取值范围时要分清开闭：只是越来越接近的值取不到。
归一化前要确认式子真的齐次，而且条件也能同时缩放；条件不是齐次时，不能再随意设 $a + b = 1$ 。
用和与积时， $p, q$ 不是相互独立的；只求出比例就给答案也不够，要继续求变量的大小（见进阶）。

进阶：归一化

归一化

既然只和比值有关，也可以直接设 $b = 1$ 或 $a + b = 1$ ，这叫归一化。前提有两个：被除的量严格为正，题目的条件在同时缩放后仍然成立。如果条件本身限定了大小（如 $a + b = 2$ ），就不能再另外设 $b = 1$ 。

进阶：取值范围：开闭和取遍

新变量取遍范围

写取值范围时，只证上下界不够，还要说明中间每个值都取得到。例如 $t > 0$ 时 $t + \frac{1}{t} \geq 2$ 。任给 $s \geq 2$ ，令 $t = \frac{s + s ^{2} - 4}{2}$ ，则 $t > 0$ 且 $t^{2} - s t + 1 = 0$ ，两边除以 $t$ 得 $t + \frac{1}{t} = s$ 。所以 $t + \frac{1}{t}$ 取遍 $[2, + \infty)$ 。

例 3：比值换元，边界取不到

$a, b > 0$ ，求 $\frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}$ 的取值范围。

怎么看出来：

分子分母都是两次，值只和比值有关，设 $t = \frac{a}{b} > 0$ 。

解：

原式 $= 1 + \frac{ab}{a ^{2} + b ^{2}} = 1 + \frac{1}{t + \frac{1}{t}}$ 。由 $t > 0$ 知 $s = t + \frac{1}{t} \geq 2$ ，并且上面已证 $s$ 取遍 $[2, + \infty)$ 。于是 $\frac{1}{s}$ 取遍 $(0, \frac{1}{2}]$ ：任给 $w \in (0, \frac{1}{2}]$ ，取 $s = \frac{1}{w} \geq 2$ 。 $t = 1$ 时取到 $\frac{1}{2}$ ； $\frac{1}{s} > 0$ 总成立，所以 $0$ 取不到。

答案：

取值范围是 $(1, \frac{3}{2}]$ 。

进阶：倒数、根式和乘积条件

倒数、根式和乘积条件的换元

$x + y = x y$ （ $x, y > 0$ ）除以 $x y$ 变成 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，所以设 $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$ 。根号多就设 $x = a^{2}$ ，把根式变成多项式。 $ab c = 1$ 时可设 $a = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{z}, c = \frac{z}{x}$ ，它们的积自动是 $1$ ，这样分式变齐次。这种写法总是做得到：取 $y = 1, x = a, z = \frac{1}{b}$ ，就有 $\frac{z}{x} = \frac{1}{ab} = c$ 。条件写成 $l g a + l g b + l g c = 0$ 时，它就是 $ab c = 1$ 。

进阶：和与积

对称量：用和与积表示

设 $p = a + b, q = ab$ ，则 $a^{2} + b^{2} = p^{2} - 2 q$ ， $a^{3} + b^{3} = p^{3} - 3 pq$ 。 $p, q$ 不是任意的：由 $(a - b)^{2} = p^{2} - 4 q \geq 0$ 知， $a, b$ 是实数要求 $p^{2} \geq 4 q$ 。这个限制决定了 $q$ 的范围，不能当成两个独立的变量。

例 4：和积换元，等号不在范围内

$a, b > 0, a + b = 2$ ，求 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b})$ 的最小值。

怎么看出来：

式子关于 $a, b$ 对称， $a + b$ 已知，所以用 $q = ab$ 表示，注意 $q$ 的范围。

解：

由 $(a - b)^{2} \geq 0$ 得 $4 q \leq p^{2} = 4$ ，所以 $0 < q \leq 1$ 。展开：原式 $= q + \frac{a ^{2} + b ^{2}}{q} + \frac{1}{q} = q + \frac{4 - 2 q}{q} + \frac{1}{q} = q + \frac{5}{q} - 2$ 。如果用基本不等式，等号要 $q = 5$ ，不在范围内。改用作差： $q + \frac{5}{q} - 6 = \frac{( q - 1 ) ( q - 5 )}{q} \geq 0$ ，因为 $q \leq 1$ 时两个因子都不大于 $0$ 。所以原式 $\geq 6 - 2 = 4$ ， $q = 1$ ，即 $a = b = 1$ 时取到。检查： $2 \times 2 = 4$ 。

答案：

最小值为 $4$ 。

进阶：平移和补数

平移和补数：去掉共同的界

变量都不小于 $1$ 时设 $x = 1 + u (u \geq 0)$ ，式子常能展开成非负项之和。变量在 $(0, 1)$ 内时设 $a = 1 - x$ ，原来的条件常常变简单。换元后要写出还原公式和新范围。

进阶：先定比例，再定大小

分两层：先定比例，再定大小

有时第一步极值只定出比例，变量的大小还没定。例如 $x^{2} + 4 y^{2} \geq 4 x y$ 只说明 $x = 2 y$ 时取等号， $x, y$ 同时放大缩小都满足这个比例。这时把比例代回去，式子只剩一个量，再求下一层的极值，并确认两层的等号能同时成立。不要在第一层就停下。

例 5：先定比例，再定大小

$x, y > 0$ ，求 $x^{2} + 4 y^{2} + \frac{1}{x y}$ 的最小值。

怎么看出来：

前两项都是两次，它们和 $x y$ 比较时只和比值 $\frac{x}{y}$ 有关。所以先用比例把前两项压到 $x y$ 上，再对 $x y$ 这一个量求最值。

解：

设 $q = x y > 0$ 。由基本不等式 $x^{2} + 4 y^{2} \geq 4 x y = 4 q$ ，等号要求 $x = 2 y$ ，这一步只定出比例。于是原式 $\geq 4 q + \frac{1}{q} \geq 24 = 4$ ，等号要求 $4 q = \frac{1}{q}$ ，即 $q = \frac{1}{2}$ ，这一步定出大小。由 $x = 2 y, x y = \frac{1}{2}$ 得 $y = \frac{1}{2}, x = 1$ ，两次等号能同时成立。检查： $1 + 1 + 2 = 4$ 。

答案：

最小值为 $4$ ，在 $x = 1, y = \frac{1}{2}$ 时取到。

进阶：分母设为新变量

例 6：分母设为新变量

$a, b, c > 0$ ，证明 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$ 。

怎么看出来：

分母复杂、分子简单，把分母设成新变量，分子就变成新变量的组合。

解：

设 $x = b + c, y = c + a, z = a + b$ ，都是正数。三式相加除以 $2$ 得 $a + b + c = \frac{x + y + z}{2}$ ，所以 $a = \frac{y + z - x}{2}, b = \frac{z + x - y}{2}, c = \frac{x + y - z}{2}$ 。代入后，原式 $= \frac{y + z - x}{2 x} + \frac{z + x - y}{2 y} + \frac{x + y - z}{2 z} = \frac{1}{2} [(\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z})] - \frac{3}{2}$ 。每个括号不小于 $2$ ，所以原式 $\geq \frac{1}{2} \times 6 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ 。等号要求 $x = y = z$ ，即 $a = b = c$ 。

答案：

不等式成立，只在 $a = b = c$ 时取等号。

真题

按这个方法练 · 65 题

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化成一个变量，或逐项估计再相加

能消成一个变量，就用配方或作差求最值；如果是很多项同样形状的式子相加，就给每一项找一个直线上界或下界，相加后用已知的和把变量消掉。

完整讲解 · 例题 · 可练 30 题

一、是什么

消元：先变成一个变量

由条件解出一个变量，再写清另一个变量的范围。例如 $x, y > 0, x + y = 4$ ，要求 $x y$ ：代入得 $x (4 - x)$ ，而 $y > 0$ 要求 $0 < x < 4$ 。二次式用配方看最值： $4 x - x^{2} = 4 - (x - 2)^{2}$ 。

范围决定最值：作差看增减

配方的顶点可能不在范围内。例如 $x \in [3, 4]$ 时 $4 - (x - 2)^{2}$ 的最大值在 $x = 3$ ，等于 $3$ ，不是 $4$ 。不是二次式时用作差看增减： $x$ 变大时函数值也变大，叫递增。 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 中，取 $1 \leq x_{1} < x_{2}$ ， $f (x_{2}) - f (x_{1}) = \frac{( x _{2} - x _{1} ) ( x _{1} x _{2} - 1 )}{x _{1} x _{2}} > 0$ ，所以它在 $[1, + \infty)$ 上递增，最小值在 $x = 1$ 。

逐项估计：每一项给一个直线界

多项形状相同、和已知时，给每一项找一个关于变量的一次式作界，相加后变量的和就用上了。由 $(x - 1)^{2} \geq 0$ 得 $x \leq \frac{x + 1}{2}$ ， $x = 1$ 时取等号。所以 $x, y, z \geq 0, x + y + z = 3$ 时， $x + y + z \leq \frac{3 + 3}{2} = 3$ 。等号点选在各变量相等的地方，每一项才能同时取等。

先看一道例题

例 1：消元配方

$x, y > 0, x + 3 y = 12$ ，求 $x y$ 的最大值。

怎么看出来：

$x$ 能直接解出，式子变成 $y$ 的二次式，配方就能看出最大值。

解：

$x = 12 - 3 y > 0$ ，所以 $0 < y < 4$ 。 $x y = y (12 - 3 y) = 12 y - 3 y^{2} = - 3 (y^{2} - 4 y) = 12 - 3 (y - 2)^{2}$ 。平方不小于 $0$ ，所以 $x y \leq 12$ ， $y = 2$ 时取等号。 $y = 2$ 在范围内，此时 $x = 6$ 。检查： $6 + 6 = 12$ ， $6 \times 2 = 12$ 。

答案：

最大值为 $12$ ，在 $x = 6, y = 2$ 时取到。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
只有两个变量和一个等式	解出一个变量，写清范围，配方
和固定，各项形状相同，如 $a + 1 + b + 1 + c + 1$	猜等号点，给每一项一个直线界，再相加（学过导数时也可以用琴生，见进阶）
消元后是三次式或更复杂的式子，如 $4 x - x^{3}$	配方不够用，改用导数（见进阶“导数求最值”）
和固定，形状相同但整体不凸，如 $\frac{1}{1 + a ^{2}} + \frac{1}{1 + b ^{2}} + \frac{1}{1 + c ^{2}}$	猜等号点，用那里的切线逐项估计（见进阶“切线法”）
积固定，如 $ab c = 1$	取对数变成和固定（见进阶“积固定：取对数”）
变量在闭区间内，固定其他变量后式子是一个变量的一次函数；或和固定，要求平方和的最大值	把变量推到端点，最后只比较有限个点（见进阶“变量推到端点”）

三、怎么用

写清范围。例如 $x, y > 0, x + y = 4$ ，求 $x y$ 的最大值： $y = 4 - x > 0$ ，所以 $0 < x < 4$ 。
消成一个变量： $x y = x (4 - x) = 4 x - x^{2}$ 。
配方： $4 x - x^{2} = 4 - (x - 2)^{2}$ 。不是二次式时，用作差看增减。
读出最值：平方不小于 $0$ ，所以 $x y \leq 4$ ， $x = 2$ 时取等号。
检查等号点在范围内并代回： $x = 2$ 满足 $0 < x < 4$ ， $y = 2$ ， $2 + 2 = 4$ ， $2 \times 2 = 4$ 。

四、再做一道

例 2：三项形状相同，逐项估计

$a, b, c > 0, a + b + c = 6$ ，证明 $a + 1 + b + 1 + c + 1 \leq 33$ 。

怎么看出来：

这次是三项相加，不能消成一个变量。三项形状相同、和固定，猜 $a = b = c = 2$ 时取等号，此时每个根式都是 $3$ 。

解：

给一项找直线界。由 $(x + 1 - 3)^{2} \geq 0$ 展开得 $x + 1 + 3 \geq 23 x + 1$ ，所以 $x + 1 \leq \frac{x + 4}{2 3}$ ， $x = 2$ 时取等号。对 $a, b, c$ 各写一次再相加：左边 $\leq \frac{( a + b + c ) + 12}{2 3} = \frac{18}{2 3} = 33$ 。 $a = b = c = 2$ 时三项同时取等号，和为 $6$ ，满足条件。

答案：

不等式成立，只在 $a = b = c = 2$ 时取等号。

五、容易错在哪

消元后忘记写另一个变量给出的范围。 $x, y > 0, x + y = 4$ 时是 $0 < x < 4$ ，不是全体实数。
配方的顶点不在范围内，还把它当最值。 $x \in [3, 4]$ 时 $4 x - x^{2}$ 的最大值是 $3$ ，不是 $4$ 。
逐项估计时，每一项的界要在同一组变量值上取等号，这组值还要满足条件，否则相加的界达不到。
只看图像判断“恒成立”。要写出配方、作差的因式或导数符号，这才算证明。
学过导数后：驻点只是可能的极值点，闭区间上还要比较端点；凸函数的平均值不小于平均处的函数值，凹函数相反，写之前用具体数验证一下。

进阶：导数求最值 · 先修：导数

导数判单调，比较所有关键点

$f^{'} (x) > 0$ 的区间上 $f$ 增， $f^{'} (x) < 0$ 的区间上 $f$ 减。 $f^{'} (x) = 0$ 的点叫驻点，它只是可能的极值点。闭区间上要比较驻点和端点的值。例如 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 在 $[0, 3]$ 上， $f^{'} = 3 (x - 1) (x + 1)$ ， $f (1) = - 2$ 是最小值，而最大值在端点： $f (3) = 18$ 。

例 3：三次式：消元求导

$x, y > 0, x^{2} + y = 4$ ，求 $x y$ 的最大值。

怎么看出来：

$y$ 能直接解出，式子变成 $x$ 的三次函数，没有明显的定积形式，用导数最直接。

解：

$y = 4 - x^{2} > 0$ 要求 $0 < x < 2$ 。设 $f (x) = 4 x - x^{3}$ ， $f^{'} (x) = 4 - 3 x^{2}$ ，在 $x = \frac{2}{3}$ 左边 $f^{'} > 0$ ，右边 $f^{'} < 0$ ，所以这里是整个范围上的最大值。 $f (\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3 3} = \frac{16 3}{9}$ ，此时 $y = \frac{8}{3} > 0$ 。

答案：

最大值为 $\frac{16 3}{9}$ 。

进阶：构造函数证恒成立 · 先修：导数、对数函数

构造函数证明恒成立

证 $ln x \leq x - 1$ （ $x > 0$ ）：设 $g (x) = x - 1 - ln x$ ， $g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x}$ ， $x = 1$ 左边减、右边增，所以 $g (x) \geq g (1) = 0$ 。这种一元不等式可以逐项相加，用来处理多个变量。

进阶：凸凹性与琴生不等式 · 先修：导数、二阶导数；最后一段的证明用数学归纳法

凸和凹

如果连接曲线上任意两点的线段都不在曲线下方，函数叫凸函数；线段都不在曲线上方，叫凹函数。判断方法：区间上二阶导数 $f^{''} (x) \geq 0$ 就凸， $f^{''} (x) \leq 0$ 就凹。例如 $x^{2}$ 、 $\frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）是凸的， $x$ （ $x > 0$ ）是凹的，因为 $(x)^{''} = - \frac{1}{4 x ^{3/2}} < 0$ 。

琴生不等式：用切线一次估计完

$f$ 凸、 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 的平均是 $m$ 时， $\frac{f ( a _{1} ) + \dots + f ( a _{n} )}{n} \geq f (m)$ ；凹时方向相反。这叫琴生不等式，也写作 Jensen。带权重 $λ_{i} \geq 0, \sum λ_{i} = 1$ 时同样成立，这时 $m = \sum λ_{i} a_{i}$ ，这里 $\sum$ 表示把各项加起来。 $f$ 可导时的理由是：凸函数的曲线在切线上方， $f (a_{i}) \geq f (m) + f^{'} (m) (a_{i} - m)$ ，乘 $λ_{i}$ 相加时 $\sum λ_{i} (a_{i} - m) = 0$ ，一次项正好消失。如果题目只告诉你凸的定义 $f ((1 - t) x_{1} + t x_{2}) \leq (1 - t) f (x_{1}) + t f (x_{2})$ （ $0 \leq t \leq 1$ ），没说可导，就用归纳法：若 $λ_{n} = 1$ ，其余权重都是 $0$ ，两边都等于 $f (a_{n})$ 。若 $λ_{n} < 1$ ，令 $Λ = 1 - λ_{n} > 0$ ， $y = \sum_{i < n} \frac{λ _{i}}{Λ} a_{i}$ ， $y$ 是区间内各点的加权平均，仍在区间内，于是 $f (Λ y + λ_{n} a_{n}) \leq Λ f (y) + λ_{n} f (a_{n})$ ，再对 $f (y)$ 用 $n - 1$ 项的结论。

例 4：琴生不等式

$a, b, c > 0, a + b + c = 3$ ，证明 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3$ 。

怎么看出来：

三项形状相同，和固定，所以判断 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的凸凹。

解：

$f (x) = x^{- 1/2}$ ， $f^{''} (x) = \frac{3}{4} x^{- 5/2} > 0$ （ $x > 0$ ），所以 $f$ 是凸函数。平均值 $m = 1$ ，由琴生不等式， $\frac{f ( a ) + f ( b ) + f ( c )}{3} \geq f (1) = 1$ ，所以和不小于 $3$ 。 $a = b = c = 1$ 时 $1 + 1 + 1 = 3$ ，取等号。

答案：

不等式成立，只在 $a = b = c = 1$ 时取等号。

进阶：切线法 · 先修：导数（只用来求切线）

切线法：整体不凸也能用

有时函数不是处处凸，但切线不等式仍然成立，直接作差验证。 $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ 在 $x = 1$ 的切线是 $1 - \frac{x}{2}$ ，作差得 $\frac{1}{1 + x ^{2}} - (1 - \frac{x}{2}) = \frac{x ( x - 1 ) ^{2}}{2 ( 1 + x ^{2} )}$ ， $x > 0$ 时非负。和固定时逐项相加就能得到结论。

例 5：切线法

$a, b, c > 0, a + b + c = 3$ ，求 $\frac{1}{1 + a ^{2}} + \frac{1}{1 + b ^{2}} + \frac{1}{1 + c ^{2}}$ 的最小值。

怎么看出来：

对称式，猜 $a = b = c = 1$ 时取到，值为 $\frac{3}{2}$ 。函数不是处处凸，所以不用琴生，改用 $x = 1$ 处的切线。

解：

$f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ ， $f (1) = \frac{1}{2}, f^{'} (1) = - \frac{1}{2}$ ，切线是 $1 - \frac{x}{2}$ 。作差： $\frac{1}{1 + x ^{2}} - 1 + \frac{x}{2} = \frac{x ( x - 1 ) ^{2}}{2 ( 1 + x ^{2} )} \geq 0$ （ $x > 0$ ）。3 式相加：原式 $\geq 3 - \frac{a + b + c}{2} = \frac{3}{2}$ 。

答案：

最小值为 $\frac{3}{2}$ ，在 $a = b = c = 1$ 时取到。

进阶：积固定：取对数 · 先修：指数函数、对数函数、二阶导数

积固定：取对数

$ab c = 1$ 时设 $a = e^{u}, b = e^{v}, c = e^{w}$ ，就有 $u + v + w = 0$ ，乘积条件变成和条件。

例 6：积固定，取对数

$a, b, c > 0, ab c = 1$ ，证明 $(1 + a) (1 + b) (1 + c) \geq 8$ 。

怎么看出来：

条件是积，目标也是积，取对数后都变成和。

解：

设 $a = e^{u}, b = e^{v}, c = e^{w}$ ，则 $u + v + w = 0$ 。要证 $g (u) + g (v) + g (w) \geq 3 ln 2$ ，其中 $g (u) = ln (1 + e^{u})$ 。 $g^{''} (u) = \frac{e ^{u}}{( 1 + e ^{u} ) ^{2}} > 0$ ，所以 $g$ 是凸函数，由琴生不等式，和不小于 $3 g (0) = 3 ln 2$ 。用基本不等式核对： $(1 + a) (1 + b) (1 + c) \geq 2 a \cdot 2 b \cdot 2 c = 8 ab c = 8$ 。

答案：

不等式成立，只在 $a = b = c = 1$ 时取等号。

进阶：变量推到端点

把变量推向端点

一次函数在闭区间上的最大值在端点，所以多变量时可以固定其他变量，把一个变量推到端点。和固定时不能只动一个，就让两个变量一增一减： $(x + d)^{2} + (y - d)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 d (x - y) + 2 d^{2}$ ， $x \geq y, d > 0$ 时平方和变大，所以最后大多数变量都停在端点。凸函数也有同样的性质：它在闭区间上的最大值在端点。

例 7：每个变量都是一次，推到端点

$x, y, z \in [0, 1]$ ，求 $x + y + z - x y - yz - z x$ 的最大值。

怎么看出来：

固定 $y, z$ ，式子是 $x$ 的一次函数，一次函数在区间上的最大值在端点。每个变量都这样，所以只需看 $0, 1$ 的组合。

解：

固定 $y, z$ ，式子是 $(1 - y - z) x + y + z - yz$ ，是 $x$ 的一次函数，在 $[0, 1]$ 上的最大值在 $x = 0$ 或 $x = 1$ ，所以把 $x$ 换成那个端点，值不会变小。接着固定 $x, z$ 处理 $y$ ，再固定 $x, y$ 处理 $z$ ，理由一样，因为式子也是 $y$ 、 $z$ 的一次函数。所以最大值一定在每个变量都取 $0$ 或 $1$ 的点上。式子对称，按取 $1$ 的个数分类：没有 $1$ 时值为 $0$ ；一个 $1$ 时值为 $1$ ；两个 $1$ 时值为 $2 - 1 = 1$ ；三个 $1$ 时值为 $3 - 3 = 0$ 。

答案：

最大值为 $1$ ，例如在 $(1, 0, 0)$ 和 $(1, 1, 0)$ 处取到。

真题

按这个方法练 · 30 题

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循环式、连乘、绝对差：分组、消项或排序后估计

很多长式子有内部结构：相邻项能互相消掉，循环的项能分成两组，绝对值排好大小就能拿掉。先找到结构，几十项也只剩几项。

完整讲解 · 例题 · 可练 30 题

一、是什么

求和：拆成相邻项之差

如果每项能写成 $b_{k} - b_{k + 1}$ ，相加后中间都消掉，只剩首尾。常用的拆法是 $\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ ，通分就能核对。例如 $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4}$ 。

拆不开：先放缩再拆

不等式常要先把每项放大或缩小成能拆的形式。 $k \geq 2$ 时分母 $k (k - 1) < k^{2}$ ，所以 $\frac{1}{k ^{2}} < \frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ 。每一项都放大，相加的结果才是上界。

先看一道例题

例 1：直接相消

计算 $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10}$ 。

怎么看出来：

分母都是相邻数的积，每项能拆成相邻项之差。

解：

前几项和最后一项是 $(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$ 。每个 $- \frac{1}{k}$ 都和下一项开头的 $\frac{1}{k}$ 抵消，只剩 $\frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{2}{5}$ 。

答案：

结果为 $\frac{2}{5}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
通项分母是相邻数的积，如 $\frac{1}{k ( k + 1 )}$	拆成相邻项之差，相加消去
通项像 $\frac{1}{k ^{2}}$ ，要证和有上界	每项放大成能拆的形式，再相加
通项像 $\frac{1}{k}$	放缩成根式之差（见进阶“根式相邻差”）
连乘式，如 $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{2 n - 1}{2 n}$	平方后放缩，让相邻因子约掉（见进阶“连乘”）
相邻乘积或相邻比值排成一圈	按奇偶分组，或者利用循环的积为 $1$ （见进阶“循环项分组”“连乘”）
绝对差之和，如 $∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ x_{2} - x_{3} ∣ + \dots$	去绝对值，看每个变量的系数（见进阶“循环绝对差”）
同一组数乱序相乘后比较，如 $a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a$	用排序不等式，大的配大的（见进阶“排序不等式”）

三、怎么用

写出前三项，看结构。例如 $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4}$ ：分母是相邻数的积。
把每项改写成相邻项之差： $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$ 。
相加： $- \frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 抵消， $- \frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 抵消，只剩 $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 。
用直接相加核对： $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 2 + 1}{12} = \frac{3}{4}$ 。
如果每项拆不开，先把每项朝同一方向放缩：要上界就都放大，如 $\frac{1}{3 ^{2}} < \frac{1}{2 \cdot 3}$ 。

四、再做一道

例 2：放缩后相消

证明：对任意正整数 $n$ ， $1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} < 2$ 。

怎么看出来：

$\frac{1}{k ^{2}}$ 本身拆不开，但它比 $\frac{1}{k ( k - 1 )}$ 小，后者能拆成相邻项之差。第 $1$ 项分母 $k - 1$ 为 $0$ ，没法拆，所以留着。

解：

$n = 1$ 时左边是 $1$ ，小于 $2$ 。 $n \geq 2$ 时，从第 $2$ 项起每项放大： $\frac{1}{2 ^{2}} < 1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{3 ^{2}} < \frac{1}{2} - \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n ^{2}} < \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$ 。相加得 $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) = 1 - \frac{1}{n}$ ，所以这些项的和小于 $1 - \frac{1}{n}$ 。这串相加也写成 $\sum_{k = 2}^{n} (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k})$ ， $\sum$ 表示让 $k$ 从 $2$ 取到 $n$ ，把各项加起来。加上第 $1$ 项，总和小于 $2 - \frac{1}{n} < 2$ 。

答案：

不等式成立。

五、容易错在哪

放缩后相加时，每一项的方向必须一致；相邻项之差可能为负时，不能逐项同向放大。
相消后要看清剩下哪几项。数不清时，先写前三项和最后一项，或者代 $n = 2$ 核对。
只给出上界，没有举例说明界能达到，就不能说这是最大值。
循环式漏掉首尾相接的一项，或者把只适用于偶数个的分组用到奇数个上。
排序不等式要求两组数都按大小排好，不能只排一组。

进阶：根式相邻差

根式相邻差

根式也能相邻相消： $\frac{1}{k} < \frac{2}{k + k - 1} = 2 (k - k - 1)$ ，最后一步分子分母同乘 $k - k - 1$ 。

进阶：连乘

连乘：让相邻因子约掉

如果每个因子是 $\frac{b _{k + 1}}{b _{k}}$ ，连乘后只剩 $\frac{b _{n + 1}}{b _{1}}$ 。也常用放缩： $(\frac{2 k - 1}{2 k})^{2} < \frac{2 k - 1}{2 k + 1}$ ，因为 $(2 k - 1) (2 k + 1) = 4 k^{2} - 1 < (2 k)^{2}$ 。循环的比值 $\frac{x _{2}}{x _{1}} \cdot \frac{x _{3}}{x _{2}} \dots \frac{x _{1}}{x _{n}} = 1$ ，所以 $\frac{x _{2}}{x _{1}} + \dots + \frac{x _{1}}{x _{n}} \geq n$ （ $n$ 个正数的平均不小于它们的几何平均）。

例 3：连乘平方后相约

证明： $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{2 n - 1}{2 n} < \frac{1}{2 n + 1}$ 。

怎么看出来：

右边有根号 $2 n + 1$ ，所以两边平方。每个因子平方后，要让相邻的分子分母约掉。

解：

因为 $(2 k - 1) (2 k + 1) < (2 k)^{2}$ ，所以 $(\frac{2 k - 1}{2 k})^{2} < \frac{2 k - 1}{2 k + 1}$ 。对 $k = 1, \dots, n$ 相乘，右边相约得 $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \dots \frac{2 n - 1}{2 n + 1} = \frac{1}{2 n + 1}$ 。所以左边的平方小于 $\frac{1}{2 n + 1}$ 。左边是正数，两边开方，不等号方向不变，得到要证的结论。

答案：

不等式成立。例如 $n = 1$ 时 $\frac{1}{2} < \frac{1}{3}$ 。

进阶：循环项分组

循环项：按奇偶分成两组

$ab + b c + c d + d a = (a + c) (b + d)$ ，因为相邻的数在不同组。如果 $a, b, c, d \geq 0$ 且和为 $1$ ，设 $s = a + c$ ，这个值就是 $s (1 - s) = \frac{1}{4} - (s - \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{1}{4}$ 。奇数个数的环没法这样分完，例如五个数排一圈总有相邻两个在同一组，要另想办法。

例 4：奇环不能照搬偶环

非负数 $a_{1}, \dots, a_{5}$ 的和为 $1$ ，求 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + a_{4} a_{5} + a_{5} a_{1}$ 的最大值。

怎么看出来：

偶数个数时可直接分成两组。五个数排一圈不行，有一项会落在同一组，要用最大的数把这项放大。

解：

五个数同时轮换，式子不变，所以可以设 $a_{1}$ 最大。把数分成 ${a_{1}, a_{3}}$ 和 ${a_{2}, a_{4}, a_{5}}$ ，则 $(a_{1} + a_{3}) (a_{2} + a_{4} + a_{5}) = a_{1} a_{2} + a_{1} a_{4} + a_{1} a_{5} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + a_{3} a_{5}$ 。原式的五项中，除 $a_{4} a_{5}$ 外的四项都出现了，而 $a_{1} a_{4} \geq a_{5} a_{4}$ ，所以原式不超过这个乘积。两组和为 $1$ ，设第一组的和为 $s$ ，乘积 $s (1 - s) \leq \frac{1}{4}$ 。取 $a_{1} = a_{2} = \frac{1}{2}$ 、其余为 $0$ ，值恰为 $\frac{1}{4}$ 。

答案：

最大值为 $\frac{1}{4}$ 。

进阶：循环绝对差

绝对差：按大小去掉绝对值

$∣ x - y ∣$ 总等于 $x - y$ 或 $y - x$ 。排好大小后绝对值就能拿掉： $a \geq b \geq c$ 时， $∣ a - b ∣ + ∣ b - c ∣ + ∣ c - a ∣ = 2 (a - c)$ 。一般地，循环绝对差之和里，每个变量出现两次，所以它的系数只能是 $2, 0, - 2$ ，而且系数之和为 $0$ 。

例 5：循环绝对差

$x_{1}, \dots, x_{5} \in [0, 1]$ ，求 $∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ x_{2} - x_{3} ∣ + ∣ x_{3} - x_{4} ∣ + ∣ x_{4} - x_{5} ∣ + ∣ x_{5} - x_{1} ∣$ 的最大值。

怎么看出来：

去掉绝对值后变成有符号的线性式。每个变量出现两次，所以系数只能是 $2, 0, - 2$ 。

解：

系数之和为 $0$ ，所以系数为 $2$ 的变量个数等于系数为 $- 2$ 的变量个数，设为 $p$ 。总共五个变量， $2 p \leq 5$ ，所以 $p \leq 2$ 。系数为 $2$ 的变量不超过 $1$ ，系数为 $- 2$ 的变量不小于 $0$ ，所以式子不超过 $2 p \leq 4$ 。取 $(1, 0, 1, 0, 0)$ ： $1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4$ 。

答案：

最大值为 $4$ 。如果是偶数个变量，交替取 $1, 0$ 能让每项都等于 $1$ ，奇数个就差 1。

进阶：排序不等式

排序：同样顺序时和最大

$a \leq b, c \leq d$ 时， $a c + b d \geq a d + b c$ ，因为差是 $(b - a) (d - c) \geq 0$ 。不断交换，就得到排序不等式：两组数大的配大的，对应乘积之和最大；大的配小的最小。

例 6：排序不等式

$a, b, c > 0$ ，证明 $a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a$ 。

怎么看出来：

两组数 $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$ 和 $(a, b, c)$ 的大小顺序相同。左边是同序相乘，右边是错位相乘。

解：

$a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 与 $a, b, c$ 排序相同，所以同序乘积和 $a^{2} \cdot a + b^{2} \cdot b + c^{2} \cdot c$ 不小于任何错位乘积和，其中就有 $a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a$ 。等号在 $a = b = c$ 时成立。

答案：

不等式成立。

进阶：整数和子集计数

整数和子集求和的小办法

整数互不相同时，排好顺序后最小值依次至少是 $1, 2, 3, \dots$ ，所以 $a < b < c$ 的正整数有 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}$ 。对所有子集求和时，换个方向数：固定一个元素必须选，其余 $n - 1$ 个元素每个都有选或不选两种，所以它在 $2^{n - 1}$ 个子集里出现。总和是 $2^{n - 1} (a_{1} + \dots + a_{n})$ 。

真题

按这个方法练 · 30 题

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恒成立最佳常数与最大最小值：压到边界，比较各段

恒成立问题就是求某个量最小能到多少；单调的变量直接推到边界；几个量取最大或最小时，用平均或交点估计，最后要举出等号点。

完整讲解 · 例题 · 可练 56 题

一、是什么

恒成立就是求最值

$f (x) \geq λ$ 对所有 $x$ 成立，当 $f$ 的最小值存在时，等价于 $λ$ 不超过这个最小值。最小值不存在时，就看 $f$ 能无限接近、又不会低于的那个数（叫下确界），再单独判断 $λ$ 能否等于它。例如 $x > 0$ 时 $1 + \frac{1}{x}$ 没有最小值，下确界是 $1$ 。因为式子总大于 $1$ ，所以 $1 + \frac{1}{x} > λ$ 恒成立的范围是 $λ \leq 1$ ，端点能取。

单调的变量推到边界

固定其他变量，如果式子关于某个变量单调（只增或只减），它一定在这个变量的边界处最大或最小。例如 $1 \leq a \leq b \leq 4$ 时 $\frac{b}{a} + a$ 关于 $b$ 递增，所以最大值要 $b = 4$ ，最小值要 $b = a$ 。推完后变量就少了一个。

最后要说明界能达到

估计出一个界还不够，要举出满足全部条件的等号点，或者一列越来越接近的取值。边界是开的（如 $x > 0$ ）时，等号点可能不存在，答案的开闭也随之变化。

先看一道例题

例 1：取不到的边界

分别求 $λ$ 的范围：(1) $1 + \frac{1}{x} > λ$ 对所有 $x > 0$ 成立；(2) $1 + \frac{1}{x} > λ$ 对所有 $0 < x \leq 1$ 成立。

怎么看出来：

2 问的式子一样，区间不同。 $1 + \frac{1}{x}$ 递减，下界由右边界决定，要看它能否取到。

解：

$x$ 变大时 $\frac{1}{x}$ 变小，所以 $1 + \frac{1}{x}$ 递减。(1) $x$ 越来越大时， $1 + \frac{1}{x}$ 接近 $1$ 但总大于 $1$ ，所以 $λ = 1$ 也可以； $λ > 1$ 时取 $x$ 足够大就不成立。(2) 最小值在 $x = 1$ 取到，等于 $2$ 。要严格大于，所以 $λ = 2$ 时在 $x = 1$ 不成立， $λ$ 必须小于 $2$ 。

答案：

(1) $λ \leq 1$ ；(2) $λ < 2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
“恒成立，求 $λ$ 的最大值”	写成 $λ \leq$ 某式子，求它的最小值或下确界
区间的端点是开的，如 $1 < x \leq 2$	先看单调性找界，再判断界取不取得到
变量有序或在区间内，如 $1 \leq a \leq b \leq 4$	固定其他变量，看单调性，推到边界（见进阶“有序变量”）
$max$ 或 $min$ 里有几个式子	用平均、乘积消去变量，再找让它们全部相等的点（见进阶“最大最小值的估计”）
$min {x, \frac{1}{y}, y + \frac{1}{x}}$ 这种倒数互相牵制	设 $m$ 为最小值，得到 $\frac{1}{x} \leq \frac{1}{m}$ 等，再代入（见同一进阶）
在区间上恒有 $∣ f (x) ∣ \leq M$ ，含参数	用端点、中点的值表示参数，或组合消去参数（见进阶“端点和中点消参”）

三、怎么用

写成求最值。例如 $x^{2} + 1 \geq λ$ 对所有 $1 < x \leq 2$ 成立，就看 $x^{2} + 1$ 在这段上最小能到多少。
看单调性，推到边界。 $x > 0$ 时 $x$ 越大 $x^{2} + 1$ 越大，所以最小的方向是左边界 $x = 1$ ，那里的值是 $2$ 。
看界能否取到。 $x = 1$ 不在范围内，所以式子总大于 $2$ ，可以无限接近 $2$ ，但取不到。
判断端点。 $λ = 2$ 时 $x^{2} + 1 > 2$ ，成立； $λ > 2$ 时，取 $x$ 足够接近 $1$ 就不成立。
写答案并检查开闭： $λ \leq 2$ 。如果题目是严格的“ $> λ$ ”，这里 $λ = 2$ 仍然成立，答案不变。

四、再做一道

例 2：约束压到边界

求最大的 $λ$ ，使 $x^{2} + y^{2} \geq λ x y$ 对所有满足 $x \geq 2 y > 0$ 的数成立。

怎么看出来：

每项都是 $2$ 次，所以设 $t = \frac{x}{y}$ 。条件 $x \geq 2 y$ 把范围变成 $t \geq 2$ ，所以基本不等式的等号 $t = 1$ 取不到，要改用作差。

解：

同除 $y^{2}$ （ $y > 0$ ）： $t^{2} + 1 \geq λ t$ ，即 $λ \leq t + \frac{1}{t}$ （ $t \geq 2$ ）。作差： $t + \frac{1}{t} - \frac{5}{2} = \frac{( 2 t - 1 ) ( t - 2 )}{2 t} \geq 0$ （ $t \geq 2$ ），只在 $t = 2$ 时取等号。所以 $t + \frac{1}{t}$ 的最小值是 $\frac{5}{2}$ ， $λ \leq \frac{5}{2}$ 。检查： $x = 2, y = 1$ 时 $x^{2} + y^{2} = 5 = \frac{5}{2} \times 2$ 。

答案：

$λ_{m a x} = \frac{5}{2}$ 。

五、容易错在哪

把取不到的边界当成能取到，或者把严格不等式的答案写成闭区间。下确界取不到时， $λ$ 等于它反而可以成立，要逐个判断。
只给界而没有等号点，这个界不一定最佳；参数取特殊值或变量是整数时还要另外检查。
只令几个式子相等，就说这是最值。必须说明为什么别处不会更好，通常用平均、单调性或乘积估计。
漏掉分支。条件是“或”的，或者 $max$ 在不同区域由不同项决定时，每一支都要算。

进阶：最大最小值的估计

最大值不小于任何平均

$max {A, B, C}$ 表示三个数中最大的， $min {A, B, C}$ 表示最小的。最大的数不小于它们的任何加权平均： $max {A, B, C} \geq \frac{λ A + μ B + ν C}{λ + μ + ν}$ ，其中权重 $λ, μ, ν \geq 0$ 且不全为 $0$ 。选权重把变量消掉，就得到下界。例如 $a \in [0, 1]$ ， $M = max {b - a, c - b, 3 - c}$ ：三项相加为 $3 - a$ ，所以 $M \geq \frac{3 - a}{3} \geq \frac{2}{3}$ 。同样地， $min {A, B} \leq A B$ （ $A, B > 0$ ），因为较小的数不超过几何平均。

例 3：三段互相牵制

$x, y > 0$ ， $m = min {x, \frac{1}{y}, y + \frac{1}{x}}$ ，求 $m$ 的最大值。

怎么看出来：

$x$ 大了 $\frac{1}{x}$ 小， $y$ 大了 $\frac{1}{y}$ 小，所以三项互相牵制。设 $m$ 为最小者，把两个简单的条件代进第三个。

解：

$m > 0$ ，由 $x \geq m$ 得 $\frac{1}{x} \leq \frac{1}{m}$ ，由 $\frac{1}{y} \geq m$ 得 $y \leq \frac{1}{m}$ 。于是 $m \leq y + \frac{1}{x} \leq \frac{2}{m}$ ，所以 $m^{2} \leq 2$ ， $m \leq 2$ 。等号要三项都等于 $2$ ： $x = 2, y = \frac{1}{2}$ ，此时 $y + \frac{1}{x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$ 。

答案：

最大值为 $2$ 。

进阶：交点与分段

一增一减看交点

设 $f$ 增、 $g$ 减，图像都不断开，在一个区间上求 $max {f, g}$ 的最小值。若交点 $f = g$ 在区间内，最小值就在交点：交点左边 $g$ 更大而 $g$ 在减，交点右边 $f$ 更大而 $f$ 在增，离开交点都会变大。若交点在区间外，式子在区间上只由一个函数决定，最小值在靠近交点的端点。例如 $f = x, g = 2 - x$ 的交点是 $x = 1$ ，在 $[3, 4]$ 上最小值是端点 $x = 3$ 处的 $3$ 。若那个端点是开的，最小值就不存在。函数不单调时，先解出每个式子在哪一段最大，逐段求最值，再比较各段的结果。

例 4：分段求最值，再比较

求 $F (x) = max {∣ x - 1∣, 3 - x^{2}}$ 在全体实数上的最小值。

怎么看出来：

$3 - x^{2}$ 不单调， $∣ x - 1∣$ 有拐点，不能只解一次交点。先分出哪一段哪个式子大，再逐段看。

解：

解 $3 - x^{2} \geq ∣ x - 1∣$ 。 $x \geq 1$ 时变成 $x^{2} + x - 4 \leq 0$ ，得 $1 \leq x \leq x_{0}$ ，其中 $x_{0} = \frac{17 - 1}{2}$ 。 $x < 1$ 时变成 $x^{2} - x - 2 \leq 0$ ，得 $- 1 \leq x < 1$ 。所以 $F$ 分三段。第一段 $x \leq - 1$ ： $F = 1 - x$ 递减，最小值在 $x = - 1$ ，为 $2$ 。第二段 $- 1 \leq x \leq x_{0}$ ： $F = 3 - x^{2}$ ，先增后减，最小值在端点， $F (- 1) = 2$ ， $F (x_{0}) = x_{0} - 1 = \frac{17 - 3}{2}$ 。第三段 $x \geq x_{0}$ ： $F = x - 1$ 递增，最小值在 $x_{0}$ 。比较 $2$ 和 $\frac{17 - 3}{2} \approx 0.56$ ，后者更小。检查： $x_{0}^{2} + x_{0} - 4 = 0$ ，所以 $3 - x_{0}^{2} = x_{0} - 1$ 。

答案：

最小值为 $\frac{17 - 3}{2}$ ，在 $x = \frac{17 - 1}{2}$ 时取到。

进阶：端点和中点消参

端点控制一次函数和二次函数

一次函数在区间上的最大值和最小值都在端点，所以 $∣ a x + b ∣ \leq 1$ 对 $x \in [- 1, 1]$ 成立等价于在 $\pm 1$ 处成立，此时 $∣ a ∣ + ∣ b ∣ = max {∣ a + b ∣, ∣ a - b ∣} \leq 1$ 。二次函数可用端点和中点消去参数： $f (x) = x^{2} + a x + b$ 时， $f (1) + f (- 1) - 2 f (0) = 2$ 。

例 5：端点和中点消参

设 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ， $M$ 是 $∣ f (x) ∣$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值。证明 $M \geq \frac{1}{2}$ 。

怎么看出来：

$a, b$ 都未知，要找组合把它们消掉。 $f (1)$ 和 $f (- 1)$ 相加消 $a$ ，再减 $2 f (0)$ 消 $b$ 。

解：

$f (1) + f (- 1) - 2 f (0) = (1 + a + b) + (1 - a + b) - 2 b = 2$ 。而左边的绝对值不超过 $∣ f (1) ∣ + ∣ f (- 1) ∣ + 2∣ f (0) ∣ \leq 4 M$ ，所以 $4 M \geq 2$ ， $M \geq \frac{1}{2}$ 。 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2}$ 时， $∣ f ∣$ 在 $[- 1, 1]$ 上最大值恰好是 $\frac{1}{2}$ 。

答案：

$M \geq \frac{1}{2}$ ，且界能达到。

进阶：有序变量

例 6：先推 $b$ ，再看 $a$

$1 \leq a \leq b \leq 4$ ，求 $\frac{b}{a} + a$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

关于 $b$ 单调递增，所以 $b$ 分别推到上下边界，只剩 $a$ 。

解：

最大值： $b = 4$ ，得 $h (a) = \frac{4}{a} + a$ ， $a \in [1, 4]$ 。作差： $5 - (a + \frac{4}{a}) = \frac{- ( a - 1 ) ( a - 4 )}{a} \geq 0$ ，所以 $h (a) \leq 5$ ， $a = 1$ 或 $4$ 时取到。最小值： $b = a$ ，得 $1 + a$ ， $a \geq 1$ ，所以最小值为 $2$ ，在 $a = b = 1$ 时取到。

答案：

最大值 $5$ （如 $a = 1, b = 4$ ），最小值 $2$ 。

真题

按这个方法练 · 56 题

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根式里有平方和：看成距离来估计

$x^{2} + y^{2}$ 就是一段长度。把几个根式都看成线段，相加就是一条折线，折线不会比直线短，最值一下就出来了。

完整讲解 · 例题 · 可练 16 题

一、是什么

根式就是距离

由勾股定理， $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ 是点 $(x, y)$ 到点 $(a, b)$ 的距离。被开方式不是平方和时先配方： $x^{2} - 6 x + 13 = (x - 3)^{2} + 2^{2}$ ，所以它的算术平方根就是 $x$ 轴上的点 $(x, 0)$ 到点 $(3, 2)$ 的距离。系数不是 $1$ 时也能配： $a^{2} + ab + b^{2} = (a + \frac{b}{2})^{2} + (\frac{3}{2} b)^{2}$ 。

折线和对称

两点之间线段最短，所以折线不会比连接首尾的线段短。 $x^{2} + 1 + (x - 3)^{2} + 4$ 是 $x$ 轴上一点 $P (x, 0)$ 到 $A (0, 1)$ 和 $B (3, 2)$ 的距离之和。 $A, B$ 在 $x$ 轴同侧，把 $B$ 对称到 $B^{'} (3, - 2)$ ，则 $PB = P B^{'}$ ，所以和不小于 $A B^{'} = 32$ 。等号要求 $P$ 在线段 $A B^{'}$ 上，只在直线上还不够，这里 $x = 1$ 满足。

距离之差

三角形两边之差小于第三边，三点共线时可以相等，所以 $∣ P A - PB ∣ \leq A B$ 。等号要求 $P$ 在直线 $A B$ 上且不在线段 $A B$ 内部。要 $P A - PB$ 取到 $A B$ ， $P$ 必须在射线 $A B$ 上、 $B$ 的外侧。

先看一道例题

例 1：两个距离之和

求 $x^{2} + 4 + (x - 4)^{2} + 1$ 的最小值。

怎么看出来：

两个根式是 $x$ 轴上的点 $P (x, 0)$ 到 $A (0, 2)$ 、 $B (4, 1)$ 的距离。 $A, B$ 在 $x$ 轴同侧，所以把 $B$ 对称过去。

解：

把 $B$ 对称到 $B^{'} (4, - 1)$ ，则 $PB = P B^{'}$ 。两点之间线段最短， $P A + P B^{'} \geq A B^{'} = 4^{2} + 3^{2} = 5$ 。等号要求 $P$ 在线段 $A B^{'}$ 上。这条线是 $y = 2 - \frac{3}{4} x$ ，令 $y = 0$ 得 $x = \frac{8}{3}$ ，在 $0$ 和 $4$ 之间。检查： $\frac{64}{9} + 4 = \frac{10}{3}$ ， $\frac{16}{9} + 1 = \frac{5}{3}$ ，和为 $5$ 。

答案：

最小值为 $5$ ，在 $x = \frac{8}{3}$ 时取到。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$(x - a)^{2} + b^{2}$ ，同一个 $x$ 出现多次，两个根式相加	看成 $x$ 轴上的点到定点的距离，同侧就对称
两个根式相减，都是到定点的距离	用两边之差不超过第三边，再检查连线和直线的交点是否存在、在哪一侧
多个根式相加，每个里面是两个平方，变量可以首尾相消	写成向量，让向量相加后的结果是常数（见进阶“向量和折线”）
被开方式像 $x^{2} - x y + y^{2}$ 或 $x^{2} + x y + y^{2}$	配方成两个平方，或用余弦定理看成夹角 $6 0^{\circ}$ 、 $12 0^{\circ}$ 的第三边（见进阶“余弦定理看根式”）
$∣ x - 1∣ + ∣ x - 2∣ + \dots$ 这样的绝对值和	两两配对（见进阶“数轴上的绝对值和”）
$∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1$ 这样的区域上，求一次式绝对值之和的最大值	只比较区域的顶点（见进阶“多边形区域的顶点”）
题目说 $a, b, c$ 是三点之间的距离	用三角不等式得到比值范围，再求一元最值（见进阶“边长比值”）

三、怎么用

把每个根式写成距离。例如 $x^{2} + 1 + (x - 3)^{2} + 4$ ： $P (x, 0)$ 到 $A (0, 1)$ 和到 $B (3, 2)$ 的距离之和。
求和时两点在同侧就对称：把 $B$ 换成 $B^{'} (3, - 2)$ ， $PB = P B^{'}$ 。
用两点之间线段最短： $P A + P B^{'} \geq A B^{'} = 3^{2} + 3^{2} = 32$ 。
写等号条件并解出 $x$ ： $P$ 在线段 $A B^{'}$ 上。这条线是 $y = 1 - x$ ，令 $y = 0$ 得 $x = 1$ ，在 $A, B^{'}$ 之间。
代回检查： $x = 1$ 时 $2 + 8 = 2 + 22 = 32$ 。

四、再做一道

例 2：距离之差的最大值

求 $x^{2} + 4 - (x - 3)^{2} + 1$ 的最大值。

怎么看出来：

两个根式是 $x$ 轴上的点 $P (x, 0)$ 到 $A (0, 2), B (3, 1)$ 的距离。这次要的是差，所以不用对称，改用“两边之差不超过第三边”。

解：

$P A - PB \leq A B = 9 + 1 = 10$ 。等号要求 $P$ 在射线 $A B$ 上、 $B$ 的外侧。直线 $A B$ 是 $y = 2 - \frac{x}{3}$ ，与 $x$ 轴交于 $x = 6$ ，此时 $P (6, 0)$ 确实在 $B$ 的外侧。检查： $40 - 9 + 1 = 210 - 10 = 10$ 。

答案：

最大值为 $10$ ，在 $x = 6$ 时取到。

五、容易错在哪

只令被开方式相等或只求出直线上的点，没有检查 $P$ 是否在线段上，等号就可能取不到。
求距离之和时两点在直线同侧要对称，异侧不用；求距离之差时情况正好相反，不要记混。
题目要求构成三角形时，共线的等号点不允许，答案可能从“有最小值”变成“没有最小值”。
用向量时， $∣ u + v ∣$ 一般小于 $∣ u ∣ + ∣ v ∣$ ，只有非零向量同向或者其中有零向量时才相等；要写出同向的具体比例，解出变量。

进阶：距离之差的特殊情形

距离之差的特殊情形

$P$ 限制在 $x$ 轴上时，要分情况判断。若直线 $A B$ 与 $x$ 轴相交，交点又不在 $A, B$ 之间（ $A, B$ 在同侧），差的绝对值的最大值就是 $A B$ ，交点处取到。若 $A B$ 与 $x$ 轴平行，就没有交点，例如 $A (0, 1), B (3, 1)$ 时差的绝对值始终小于 $3$ ，只能越来越接近 $3$ ，没有最大值。

进阶：向量和折线 · 先修：平面向量的坐标运算和数量积

向量三角不等式

向量 $u = (u_{1}, u_{2})$ 表示从起点横走 $u_{1}$ 、竖走 $u_{2}$ ，长度 $∣ u ∣ = u_{1}^{2} + u_{2}^{2}$ 。两个向量首尾相接，就是坐标相加： $u + v = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2})$ 。所以 $∣ u ∣ + ∣ v ∣ \geq ∣ u + v ∣$ ，因为三角形两边之和不小于第三边。计算上， $(∣ u ∣ + ∣ v ∣)^{2} - ∣ u + v ∣^{2} = 2 (∣ u ∣∣ v ∣ - u \cdot v) \geq 0$ ，其中 $u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$ 是向量的数量积，它不超过 $∣ u ∣∣ v ∣$ 。等号在 $u, v$ 都不为零且同向（一个是另一个的正数倍），或者至少一个是零向量时成立。多项相加也一样： $\sum x_{i}^{2} + y_{i}^{2} \geq (\sum x_{i})^{2} + (\sum y_{i})^{2}$ ， $\sum$ 表示把各项加起来。例如 $x^{2} + 1 + (x - 3)^{2} + 4$ 中， $(x, 1) + (3 - x, 2) = (3, 3)$ ，直接得到下界 $32$ 。

例 3：两个变量的折线

求 $a^{2} + 1 + (b - a)^{2} + 4 + (3 - b)^{2} + 9$ 的最小值。

怎么看出来：

三个根式是三段折线的长度：向量 $(a, 1), (b - a, 2), (3 - b, 3)$ 。把它们首尾相接，变量全部消掉。

解：

三个向量的和是 $(3, 6)$ ，所以原式 $\geq 9 + 36 = 35$ 。等号要求三个向量同向： $a : 1 = (b - a) : 2 = (3 - b) : 3$ 。这三个比值都等于 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ，所以 $a = \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$ 。检查： $\frac{5}{2} + 5 + \frac{3 5}{2} = 35$ 。

答案：

最小值为 $35$ ，在 $a = \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$ 时取到。

进阶：数轴上的绝对值和

绝对值是一维的长度

$∣ x - a ∣$ 是数轴上 $x$ 到 $a$ 的距离，所以 $∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ \geq 2$ ， $x$ 在 $[1, 3]$ 上时取等号： $x$ 在两点之间，两段距离加起来正好是 $2$ ；在外面就多走了。

例 4：绝对值之和：两两配对

求 $∣ x - 1∣ + ∣ x - 2∣ + ∣ x - 4∣ + ∣ x - 8∣$ 的最小值。

怎么看出来：

每一项都是数轴上 $x$ 到定点的距离。把最外面的两点配成一对，里面的两点配成一对，每对的距离和都有下界。

解：

$∣ x - 1∣ + ∣ x - 8∣ \geq 7$ ， $x \in [1, 8]$ 时取等号。 $∣ x - 2∣ + ∣ x - 4∣ \geq 2$ ， $x \in [2, 4]$ 时取等号。相加得原式 $\geq 9$ 。两个范围的公共部分是 $[2, 4]$ ，所以等号能取到。检查 $x = 3$ ： $2 + 1 + 1 + 5 = 9$ 。

答案：

最小值为 $9$ ， $2 \leq x \leq 4$ 时都取到。

进阶：多边形区域的顶点

多边形区域：只比较顶点

设 $l_{1}, l_{2}, \dots$ 都是 $x, y$ 的一次式，权重非负， $F = c_{1} ∣ l_{1} ∣ + c_{2} ∣ l_{2} ∣ + \dots$ 。对线段 $A B$ 上的点 $P = s A + (1 - s) B$ （ $0 \leq s \leq 1$ ）， $∣ l (P) ∣ = ∣ s l (A) + (1 - s) l (B) ∣ \leq s ∣ l (A) ∣ + (1 - s) ∣ l (B) ∣$ ，所以 $F (P)$ 不超过 $F (A), F (B)$ 中较大的。在多边形区域上分两步用它：区域内任一点 $P$ ，过它作一条直线，交区域边界于 $C, D$ ， $P$ 在线段 $C D$ 上，所以 $F (P)$ 不超过 $F (C), F (D)$ 中较大的； $C, D$ 都在某条边上，边的两端是顶点，再用一次，就不超过顶点上的值。所以最大值只要比较各个顶点。例如 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1$ 上的 $∣ x - y + 1∣ + ∣2 x + y ∣$ ，四个顶点 $(1, 0), (- 1, 0), (0, 1), (0, - 1)$ 的值依次是 $4, 2, 1, 3$ ，最大值为 $4$ 。一次式这个条件不能少： $∣1 - x^{2} ∣$ 在 $[- 1, 1]$ 的两端为 $0$ ，中间却是 $1$ 。

进阶：边长比值

变量本身是边长

$a, b, c$ 是三个点之间的距离时，有 $c \leq a + b$ 。三点不共线（真的构成三角形）时，还是严格的 $c < a + b$ 。比值 $t = \frac{a + b}{c}$ 的范围就是 $t \geq 1$ 或 $t > 1$ ，这决定了等号能否取到。

例 5：边长比值与共线

$A, B, C$ 是平面上不同的三点， $BC = a, C A = b, A B = c$ 。求 $\frac{a + b}{c} + \frac{c}{4 ( a + b )}$ 的最小值；如果要求三点不共线，答案有什么变化？

怎么看出来：

设 $t = \frac{a + b}{c}$ ，由三角不等式 $t \geq 1$ ，这是变量的实际范围。基本不等式的等号在 $t = \frac{1}{2}$ ，不在范围内。

解：

原式 $= t + \frac{1}{4 t}$ 。作差： $t + \frac{1}{4 t} - \frac{5}{4} = \frac{( t - 1 ) ( 4 t - 1 )}{4 t} \geq 0$ （ $t \geq 1$ ），只在 $t = 1$ 时取等号，所以最小值在 $t = 1$ ，为 $\frac{5}{4}$ 。 $t = 1$ 意味着 $C$ 在线段 $A B$ 上（ $C$ 与 $A, B$ 都不同），这是允许的。如果三点不共线，则 $t > 1$ ，式子只能无限接近 $\frac{5}{4}$ ，没有最小值。

答案：

最小值为 $\frac{5}{4}$ ；若要求三点不共线，则没有最小值，式子只能无限接近 $\frac{5}{4}$ 。

进阶：余弦定理看根式 · 先修：余弦定理、三角形面积公式

例 6：被开方式看成余弦定理

$x, y, z > 0$ ，证明 $x^{2} - x y + y^{2} + y^{2} - yz + z^{2} \geq x^{2} + x z + z^{2}$ ，并求等号成立的条件。

怎么看出来：

余弦定理说，夹角为 $θ$ 、两边为 $x, y$ 的三角形，第三边的平方是 $x^{2} + y^{2} - 2 x y cos θ$ 。 $θ = 6 0^{\circ}$ 时就是 $x^{2} - x y + y^{2}$ ， $θ = 12 0^{\circ}$ 时就是 $x^{2} + x y + y^{2}$ 。所以三个根式都是线段。

解：

从点 $O$ 引三条射线， $OB$ 在中间， $∠ A OB = ∠ BOC = 6 0^{\circ}$ ， $∠ A OC = 12 0^{\circ}$ 。取 $O A = x, OB = y, OC = z$ ，则 $A B = x^{2} - x y + y^{2}$ ， $BC = y^{2} - yz + z^{2}$ ， $A C = x^{2} + x z + z^{2}$ 。由 $A B + BC \geq A C$ 得结论。等号要求 $B$ 在线段 $A C$ 上，此时 $△ A OC$ 的面积等于两个小三角形面积之和： $\frac{1}{2} x z sin 12 0^{\circ} = \frac{1}{2} x y sin 6 0^{\circ} + \frac{1}{2} yz sin 6 0^{\circ}$ ，即 $x z = y (x + z)$ 。检查 $x = z = 2, y = 1$ ：左边 $3 + 3$ ，右边 $12$ ，相等。

答案：

不等式成立，等号只在 $y = \frac{x z}{x + z}$ 时成立。

真题

按这个方法练 · 16 题

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误区对照

容易误以为

设 $x \in R$ ，解不等式 $x^{2} + 3 \geq 2 x$ ：两边直接平方得 $x^{2} + 3 \geq 4 x^{2} ⟺ x^{2} \leq 1$ ，故解集为 $- 1 \leq x \leq 1$ 。

应当这样想

平方前先按右边正负分情况：当 $x < 0$ 时， $2 x < 0 < x^{2} + 3$ ，不等式恒成立（如 $x = - 2$ 时 $7 > - 4$ ，直接平方会漏掉整段 $x < - 1$ ）；当 $x \geq 0$ 时两边非负，平方等价于 $x^{2} + 3 \geq 4 x^{2} ⟺ 0 \leq x \leq 1$ 。合并两段得真实解集为 $x \leq 1$ 。

为什么

不等式两边平方只在两边同为非负时保持同向等价；若右边为负而左边非负，不等式无需平方即恒成立，直接平方会把负半轴的解集人为截断。

容易误以为

设实数 $a, b$ 满足 $a + b = 2$ 且 $a, b \neq = 1$ ，求 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b - 1}$ 的最小值：由柯西分式形式得 $\frac{1 ^{2}}{a - 1} + \frac{2 ^{2}}{b - 1} \geq \frac{( 1 + 2 ) ^{2}}{( a - 1 ) + ( b - 1 )} = \frac{9}{0}$ ，或当 $a + b = 3$ 时得 $\geq \frac{9}{1} = 9$ 。

应当这样想

柯西分式形式 $\sum \frac{u _{i}^{2}}{v _{i}} \geq \frac{( \sum u _{i} ) ^{2}}{\sum v _{i}}$ 要求每一个分母 $v_{i} > 0$ 。若只给实数 $a + b = 3$ ，取 $a = 0, b = 3$ 时 $a - 1 = - 1 < 0$ ，原式为 $- 1 + 2 = 1 < 9$ ，不等式不成立；只有在限定 $a > 1, b > 1$ 时，才有分母同正，从而在 $a - 1 = \frac{1}{3}, b - 1 = \frac{2}{3}$ 即 $(a, b) = (\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$ 处取到最小值 $9$ 。

为什么

分式柯西（权方和）本质上是将 $(\sum v_{i}) (\sum u_{i}^{2} / v_{i}) \geq (\sum u_{i})^{2}$ 两边同除 $\sum v_{i}$ 并把 $v_{i}$ 放进内积，因此必须保证每个分母 $v_{i} > 0$ 。

容易误以为

设 $a, b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，求 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b})$ 的最小值：由 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ 、 $b + \frac{1}{b} \geq 2$ ，两式相乘得最小值为 $4$ 。

应当这样想

两处均值取等分别要求 $a = 1$ 与 $b = 1$ ，此时 $a + b = 2 \neq = 1$ ，等号无法同时实现。正确做法是展开目标式： $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b}) = ab + \frac{1}{ab} + \frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab} = ab + \frac{1}{ab} + \frac{1 - 2 ab}{ab} = ab + \frac{2}{ab} - 2$ 。记 $t = ab \in (0, \frac{1}{4}]$ ，原式 $= t + \frac{2}{t} - 2$ 的导数为 $1 - \frac{2}{t ^{2}} < 0$ ，在 $(0, \frac{1}{4}]$ 上严格递减，故当 $a = b = \frac{1}{2}$ （ $t = \frac{1}{4}$ ）时取最小值 $\frac{1}{4} + 8 - 2 = \frac{25}{4}$ 。

为什么

分步使用基本不等式时，各步的取等条件必须能被同一组满足约束的变量同时达到；若取等位置落在可行域之外，要把表达式整理为约束变量的函数，用单调性或配平权重重新求最值。

容易误以为

设实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 3$ ，令 $p = ab + b c + c a$ ，把 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9 - 2 p$ 看作 $p \in R$ 的一次函数，认为 $p$ 可以取任意正实数，从而 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 可以任意小。

应当这样想

基本对称量之间受实根判别条件约束：由 $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$ 得 $(a + b + c)^{2} \geq 3 (ab + b c + c a)$ ，即 $p \leq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{3} = 3$ 。因此 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9 - 2 p \geq 9 - 6 = 3$ ，当且仅当 $a = b = c = 1$ 时取等。

为什么

对称量换元后， $s, p, q$ 并非相互独立的自由变量；必须先把原变量为实数（或正数）的可行条件转化为新变量的精确取值范围，再求极值。

容易误以为

设 $a, b, c > 0$ 且 $a + b + c = 3$ ，求 $a + 1 + b + 1 + c + 1$ 的最小值：因 $f (x) = x + 1$ 满足中心对称条件，直接在 $a = b = c = 1$ 处用琴生不等式得最小值为 $32$ 。

应当这样想

在 $(0, 3)$ 上 $f^{''} (x) = - \frac{1}{4} (x + 1)^{- 3/2} < 0$ ， $f (x)$ 是严格凹函数，因此琴生不等式给出的是上界： $f (a) + f (b) + f (c) \leq 3 f (1) = 32$ （即最大值为 $32$ ）。对凹函数求下界应看边界：由 $a + 1 + b + 1 > a + b + 1 + 1$ ，当三个正变量中两个趋近 $0$ 、一个趋近 $3$ 时，和趋近 $4 + 1 + 1 = 4$ ，故下确界为 $4$ （开区间 $a, b, c > 0$ 内无最小值；若允许非负则在 $(3, 0, 0)$ 处取最小值 $4$ ）。

为什么

凸函数（ $f^{''} > 0$ ）用琴生不等式得下界、在中心取最小；凹函数（ $f^{''} < 0$ ）用琴生不等式得上界、在中心取最大，其下确界反而出现在边界极端处。

容易误以为

设非负实数 $a, b, c, d$ 满足 $a + b + c + d = 1$ ，求循环邻积和 $S = ab + b c + c d + d a$ 的最大值：由对称性令 $a = b = c = d = \frac{1}{4}$ ，得最大值为 $4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ ，且认为唯有四数相等时取等。

应当这样想

把四项按奇偶位提取公因式： $ab + b c + c d + d a = (a + c) (b + d) \leq (\frac{( a + c ) + ( b + d )}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ 。取等条件只需 $a + c = b + d = \frac{1}{2}$ ，并非要求四数相等，例如 $(a, b, c, d) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0, 0)$ 同样取到 $\frac{1}{4}$ ；若换成五元循环和 $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{4} + x_{4} x_{5} + x_{5} x_{1}$ ，在五数相等时仅为 $5 \times \frac{1}{25} = \frac{1}{5}$ ，而在 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0, 0, 0)$ 处却能取到 $\frac{1}{4} > \frac{1}{5}$ 。

为什么

循环式不等于完全对称式：循环和在变量退化到相邻两项集中取值时，往往比全体变量均分更大，必须通过整体因式分解或奇偶配对分析真实极值。

容易误以为

设 $x \in (0, 1)$ ，因为对任意 $x \in (0, 1)$ 都有 $x^{2} + 2 x > 0$ ，且当 $x \to 0^{+}$ 时 $x^{2} + 2 x \to 0$ ，于是断言函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 在 $(0, 1)$ 上的最小值为 $0$ 。

应当这样想

在开区间 $(0, 1)$ 上 $f^{'} (x) = 2 x + 2 > 0$ ， $f (x)$ 严格递增，值域为 $(0, 3)$ 。因此 $0$ 是 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的下确界（最大下界），但区间内不存在任何 $x_{0} \in (0, 1)$ 使 $f (x_{0}) = 0$ ，故函数在 $(0, 1)$ 上没有最小值。

为什么

最小值必须是函数在定义域内某一点实际取到的函数值；在开区间或含严格不等式约束的题中，边界极限只能给出上下确界，不能直接当成最值。

容易误以为

求 $f (x) = x^{2} + 1 + (x - 2)^{2} + 4$ 的最小值：改写为平面上动点 $P (x, 0)$ 到 $A (0, 1)$ 、 $B (2, 2)$ 的距离之和，直接连接 $A B$ 得最小值为 $∣ A B ∣ = (2 - 0)^{2} + (2 - 1)^{2} = 5$ 。

应当这样想

点 $A (0, 1)$ 与 $B (2, 2)$ 都在 $x$ 轴同侧（纵坐标均为正），线段 $A B$ 与 $x$ 轴不相交，因此不存在 $x \in R$ 使 $P (x, 0)$ 落在线段 $A B$ 上。应先把 $A (0, 1)$ 关于 $x$ 轴对称到 $A^{'} (0, - 1)$ ，利用 $∣ P A ∣ = ∣ P A^{'} ∣$ 得 $∣ P A ∣ + ∣ PB ∣ = ∣ P A^{'} ∣ + ∣ PB ∣ \geq ∣ A^{'} B ∣ = (2 - 0)^{2} + (2 - (- 1))^{2} = 13$ ，当 $P$ 为线段 $A^{'} B$ 与 $x$ 轴交点 $x = \frac{2}{3}$ 时取等。

为什么

用向量三角不等式 $∣ u ∣ + ∣ v ∣ \geq ∣ u + v ∣$ 求根式和下界时，必须让 $u + v$ 消去动变量 $x$ 且两向量能够同向；几何上即需让连接两定点的线段与动点所在直线相交（如两定点位于直线异侧或至少一点在直线上）。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

1. 设实数

x > 2

，求函数

f (x) = x + \frac{9}{x - 2}

的最小值及取等位置。下列说法正确的是：A. 直接对

x

与

\frac{9}{x - 2}

用基本不等式，在

x = \frac{9}{x - 2}

处取最小值B. 拆写为

(x - 2) + \frac{9}{x - 2} + 2 \geq 29 + 2 = 8

，当且仅当

x = 5

时取最小值

8

C. 拆写为

(x - 2) + \frac{9}{x - 2} \geq 6

，故最小值为

6

，在

x = 5

处取到D. 因

x > 2

为开区间，该函数只有下确界

8

，没有最小值

2. 已知实数

x, y

满足

x^{2} + y^{2} = 5

，用柯西不等式求

2 x - y

的取值范围。下列推导正确的是：A. 由

(2 x - y)^{2} \leq (2^{2} + 1^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 25

，得

- 5 \leq 2 x - y \leq 5

，在

(2, - 1)

与

(- 2, 1)

分别取到最大、最小值B. 由

(2 x - y)^{2} \leq (2^{2} - 1^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 15

，得

- 15 \leq 2 x - y \leq 15

C. 柯西不等式要求各分量非负，故此法只对

x \geq 0, y \geq 0

适用D. 由

(2 x - y)^{2} \leq 25

直接开方得

0 \leq 2 x - y \leq 5

3. 设正实数

a, b, c

满足

a + b + c = 3

，记

p = ab + b c + c a

。关于

p

的取值范围，下列结论正确的是：A.

p

可取任意正实数，即

p \in (0, + \infty)

p \in (0, 3]

，其中上界

3

在

a = b = c = 1

取到，下界

0

在开区间

a, b, c > 0

内取不到C.

p \in [3, 9]

，因为

(a + b + c)^{2} = 9

p \in [0, 3]

，在

(a, b, c) = (3, 0, 0)

处取到最小值

0

真题 · 305 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

不等式的证明

从这里开始

检查等号是否可达

知识要点

方法卡

证明不等式或求最值：两边作差，配成平方

一、是什么

作差：把比较变成看正负

配方：把差写成平方和

平方和为零：等式也能用

先看一道例题

例 1：按字母配方

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：一个方程定出三个未知数

五、容易错在哪

有交叉项：先乘 2 再分组

例 3：乘 2 再分组

平方比较：先确认两边非负

例 4：根式比较：另一边可能为负

判别式：把式子看成某一个变量的二次式

例 5：用判别式求范围

整数变量：判别式大于零不一定失败

例 6：整数变量下的最大常数

平方和与线性式、分式和互相估计：用柯西不等式

一、是什么

柯西不等式是什么

为什么成立

线性式与平方和互相控制

先看一道例题

例 1：已知平方和，求线性式最大值

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：两个和相乘

五、容易错在哪

条件带系数：先把系数拆进去

例 3：一元根式函数的最大值

分式形式：分子是平方时合并

例 4：分式合并

二次式带交叉项：先配方或换元

例 5：目标带交叉项

等号能直接定出变量

n 个数的版本与求和记号

例 6：圆上线性式的范围

正数的和与积互相估计：拆项配平，用基本不等式

一、是什么

基本不等式是什么

拆项：让积变成常数

负数不能直接用

先看一道例题

例 1：积是常数

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：减常数凑定积

五、容易错在哪

乘 1：把条件乘进去

例 3：条件是分式，目标是和

三个数的版本

重复项：让各项能够相等

例 4：重复项

倒推系数：先想好等号在哪

例 5：倒推权重

例 6：和与积互相转化

齐次式、比值和对称式：归一化或换元，减少变量

一、是什么

齐次：只和比值有关

比值换元

先看一道例题

例 1：比值换元

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：恒成立求参数

五、容易错在哪

归一化

新变量取遍范围

例 3：比值换元，边界取不到

$n$ 个数的版本与求和记号