参数方程与极坐标

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

参数方程把平面点交给一个或多个参数描述，极坐标则把长度与方向作为坐标。做题时先检查表示和取值域，再选择消元、直线单位方向参数（弦长与割线幂 $∣ t_{1} t_{2} ∣$ ）、圆锥曲线三角参数或极直坐标互化；最后把每个候选点放回原条件。本讲同时为六类核心方法配置了跨专题公开练习（联动 FR034/FR036/FR037/FR041 已上线真题），可直接跳转实战。

1. 先修与破题直觉：参数方程首先是一张带取值域的对应表，消参只得到必要条件。 $x = cos t$ 、 $y = cos 2 t$ （ $t \in R$ ）消参得 $y = 2 x^{2} - 1$ ，但 $x$ 只能取 $[- 1, 1]$ ，所以轨迹只是抛物线上的一段弧。

2. 核心条件辨析：直线参数 $t$ 的绝对值等于距离，要求方向向量是单位向量； $t_{1} t_{2} < 0$ 时两个交点分居定点两侧， $∣ t_{1} ∣ + ∣ t_{2} ∣ = ∣ t_{1} - t_{2} ∣$ ；椭圆的离心角不是点的极角；极坐标互化后单查原点，求交点比较的是平面点，而不是同一组 $(ρ, θ)$ 。

3. 典型误区对比：先读相位差化圆、割线参数和、离心角与极角、原点增根、交点漏掉原点、动线段扫过区域六组红绿卡，再做自测。每得到一个候选点，都放回原参数或原极方程检查一次。

4. 方法迁移带练：过 $P_{0} (0, 1)$ 、倾角为 $α$ 的直线 $x = t cos α$ 、 $y = 1 + t sin α$ 代入圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ ，得 $t^{2} + 2 t sin α - 8 = 0$ 。因 $t_{1} t_{2} = - 8 < 0$ ，所以 $∣ P_{0} A ∣ \cdot ∣ P_{0} B ∣ = 8$ （等于 $9 - 1^{2}$ ）， $∣ P_{0} A ∣ + ∣ P_{0} B ∣ = ∣ t_{1} - t_{2} ∣ = 4 sin^{2} α + 32 = 2 sin^{2} α + 8$ 。

5. 分级真题实战：先用 P020025–P020028 完成入门训练，再用 P020045 练极坐标交点与极点反验；之后用本页 P011101–P011104 依次练“消元与参数域反验”“单位方向参数与长度”“三角参数与范围可达”，再练“极坐标与直角坐标互化”“交点表示与角差距离”，最后挑战“单参数曲线族、切线包络与受限极值”，并按页下练习说明进入联动专题的真题。

本专题现有 9 道培玉自编或原创改编练习：P011101–P011104、P020025–P020028、P020045。四道 F1B 入门题分别练习半圆参数域、单位方向参数、极坐标圆互化与三角参数取等；新增 P020045 联练极坐标圆与直线的交点及极点反验。六张方法卡均有至少两道本专题例题；原题 P009940 因未显式约定有向极径保持排除。综合提高仍可前往 FR036（圆的方程）、FR037（椭圆）、FR038（双曲线）、FR039（抛物线）、FR041（轨迹与定值定点）及 FR034（定积分与微积分基本定理）。跨专题练习指引：① 消元与参数域反验：本专题 P011101，联动 P009944（FR036）、P006835（FR041）；② 单位方向参数与长度：本专题 P011102，联动 P005992、P006688、P006775（FR036）；③ 三角参数与范围可达：本专题 P011103、P011104，联动 P006210、P006242、P006313（FR037）；④ 极坐标与直角坐标互化：本专题 P011104，联动 P006531（FR036）；⑤ 交点表示与角差距离：本专题 P011104，联动 P006531（FR036）、P006148（FR041）；⑥ 单参数曲线族、切线包络与受限极值：本专题 P011101、P011103，联动 P010175（FR034 动线段包络抛物线与面积）、P006137（FR037）。

知识要点

参数方程先是一张带取值域的对应表

参数方程把每个允许的参数值送到一个平面点。消去参数只能先得到轨迹的必要条件，还要检查所得点能否反求允许的参数。例如 $x = t^{2}, y = t$ 、 $t \in R$ 的轨迹是整条 $x = y^{2}$ ；若改成 $t \geq 0$ ，还须加 $y \geq 0$ 。点 $(4, - 2)$ 属于前一种而不属于后一种，不能因消元式相同就混为同一轨迹。

直线参数的绝对值未必就是距离（弦长与割线幂公式）

过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 、方向向量为非零 $v = (u, v)$ 的直线可写成 $P = P_{0} + t v$ ，其到定点距离是 $∣ P_{0} P ∣ = ∣ t ∣ ∥ v ∥$ 。例如从 $(1, - 2)$ 沿 $(3, 4)$ 取 $t = 2$ 到达 $(7, 6)$ ，距离为 $2 \times 5 = 10$ 。只有当方向向量已单位化为 $e = (cos α, sin α)$ 时，参数绝对值 $∣ t ∣$ 才直接表示有向距离：代入二次曲线得 $A t^{2} + Bt + C = 0$ （ $Δ \geq 0$ ）后，两交点弦长为 $∣ P_{1} P_{2} ∣ = ∣ t_{1} - t_{2} ∣ = (t_{1} + t_{2})^{2} - 4 t_{1} t_{2}$ ，定点到两交点距离之积（割线幂）为 $∣ P_{0} P_{1} ∣ \cdot ∣ P_{0} P_{2} ∣ = ∣ t_{1} t_{2} ∣ = ∣ C / A ∣$ ；若 $∣ P_{0} P_{1} ∣ + ∣ P_{0} P_{2} ∣$ 取值则需先看 $t_{1} t_{2}$ 符号（同号为 $∣ t_{1} + t_{2} ∣$ ，异号为 $∣ t_{1} - t_{2} ∣$ ）。参数允许全体实数、非负实数或非退化闭区间时，分别对应整线、射线或线段。

圆的三角参数覆盖全部方向与相位差消元

圆心 $(h, k)$ 、半径 $R > 0$ 的圆可用 $x = h + R cos t, y = k + R sin t$ 表示，取一个完整周期便覆盖全圆。例如圆心 $(1, - 1)$ 、半径 $2$ ，在 $t = π /2$ 与 $π$ 时分别得到 $(1, 1)$ 与 $(- 1, - 1)$ 。若遇到相位差为 $π /2$ 的参数式（如 $x = 3 + cos (t - π /3), y = 4 + cos (t + π /6) = 4 - sin (t - π /3)$ ，见公开练习 P009944），先利用诱导公式把两个三角项化为同一相位角 $φ = t - π /3$ 的 $cos φ$ 与 $- sin φ$ ，再平方相加即还原为圆 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ 。限制参数区间后通常只剩圆弧。

椭圆参数角（离心角）不等于点的极角

椭圆 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ （ $a, b > 0$ ）可取 $x = a cos t, y = b sin t$ ，其中 $t$ 称为离心角（辅助圆对应角）。它来自单位圆在两个坐标方向的不同伸缩，因此当 $a \neq = b$ 时，在非坐标轴点处 $t$ 不等于从原点看该点的极角 $θ$ ，二者满足 $tan θ = \frac{y}{x} = \frac{b}{a} tan t$ 。例如 $a = 3, b = 2, t = π /4$ 时，点为 $(3/ 2, 2)$ ，位置向量斜率 $tan θ = 2/3$ ，而 $tan t = 1$ 。不能直接把椭圆三角参数中的 $t$ 当作极坐标角。

极坐标要先约定半径与角的表示

本讲默认 $ρ \geq 0$ ，角按 $2 π$ 周期表示；有 $x = ρ cos θ, y = ρ sin θ$ 。例如 $(ρ, θ) = (2, π /3)$ 对应直角坐标 $(1, 3)$ ，给角加整周仍为同点。原点的半径为零，方向角可任取。若另行允许负半径，还会多出等价表示；读题时须先看约定，不能用本讲默认范围删去题目允许的表示。

坐标互化后仍要核反向与原点

由 $ρ = 4 cos θ$ 可得 $x^{2} + y^{2} = 4 x$ ，对应圆心 $(2, 0)$ 、半径二。对圆上非原点，取 $ρ = x^{2} + y^{2}$ 并以点的方向选角，就可反验极方程；原点则可取 $θ = π /2$ 单独验证。相反， $ρ cos θ = 2$ 就是直线 $x = 2$ ，不含原点。乘除半径、平方去根号时都要回查零值和符号。

曲线交点比较的是平面点而非同一表示

两条极曲线的公共点，在两式中未必采用同一个角表示，尤其要单查原点。例如 $ρ = 2 cos θ$ 与 $ρ = 2 sin θ$ 分别化为 $x^{2} + y^{2} = 2 x$ 、 $x^{2} + y^{2} = 2 y$ 。联立得交点 $(0, 0)$ 与 $(1, 1)$ 。非零交点可用同一极角求出；原点在两式中可分别取 $π /2$ 与零，若只令同角的两半径相等，可能漏掉它。

极角差通过余弦定理控制距离与单参数曲线族包络

若两点极坐标为 $(ρ_{1}, θ_{1})$ 、 $(ρ_{2}, θ_{2})$ ，则两点距离平方为 $ρ_{1}^{2} + ρ_{2}^{2} - 2 ρ_{1} ρ_{2} cos (θ_{1} - θ_{2})$ ，也可由直角坐标展开证明。例如 $(2, 0)$ 与 $(3, π /2)$ 对应点 $(2, 0)$ 与 $(0, 3)$ ，距离为 $13$ 。对含参数的曲线族，先问参数方程是否精确表示原对象：整直线只需在线上，动线段还须位于两个端点之间。例如 $P = (t, 0), Q = (1, t)$ 、 $0 \leq t \leq 1$ 的线段应写成 $(x, y) = (t + λ (1 - t), λ t)$ ，其中 $0 \leq λ \leq 1$ 。消去 $λ$ 虽得 $t^{2} - (x + y) t + y = 0$ ，仍必须保留线段限制；在 $t = 1$ 时原对象是 $x = 1, 0 \leq y \leq 1$ 的竖直线段，而不是整条直线。判别式为零与参数端点只提供边界候选，须逐一反验，不足以单独证明完整扫掠域。当平面直线段或曲线含参数 $t \in [0, 1]$ （如连接 $P (t, 0)$ 与 $Q (1, t)$ 的动线段 $(x, y) = (t + s (1 - t), s t)$ ， $s \in [0, 1]$ ，见公开练习 P010175）：当 $t = 0$ 时为水平线段 $y = 0 (0 \leq x \leq 1)$ ；当 $t = 1$ 时为竖直线段 $x = 1 (0 \leq y \leq 1)$ ；当 $x \in [0, 1)$ 时消去 $s = \frac{x - t}{1 - t} \in [0, 1]$ 得 $y = \frac{t ( x - t )}{1 - t} (t \in [0, x])$ ，固定 $x$ 求其最大值 $y_{m a x} = (1 - 1 - x)^{2}$ （对应重根包络抛物线弧 $1 - x + y = 1$ ），即得完整扫过区域 $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq (1 - 1 - x)^{2}$ 。

方法卡

消元与参数域反验

消元方程只是一半，参数范围须转成点的范围并逆向验证。

完整讲解 · 例题 · 可练 3 题

一、是什么

先认识这些量

参数曲线是由允许参数代入得到的点集。同一普通方程可能包含参数永远取不到的点或分支。

为什么这样做

平方会丢符号，分式会引入禁值。用候选点反求原参数，才能恢复完整轨迹。

先看一道例题

例 1：半条抛物线

$x = t^{2}, y = t, t \geq 0$ ，求轨迹。

怎么看出来：

纵坐标就是参数。

解：

消元得 $x = y^{2}$ ，并保留 $y \geq 0$ 。逆向令 $t = y$ ，所有候选点都能得到。

答案：

$x = y^{2}, y \geq 0$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
给出参数方程求轨迹，或消去参数后所得曲线似乎比原来范围更大。	消元方程只是一半，参数范围须转成点的范围并逆向验证。
$x = t^{2}, y = t, t \geq 0$ ，求轨迹。	纵坐标就是参数。

三、怎么用

先记全部参数限制。
消去参数但保留符号。
从候选点反求参数。
检查参数范围、零分母和删点。

四、再做一道

例 2：双曲线分支

$x = t + 1/ t, y = t - 1/ t, t > 0$ ，求轨迹。

怎么看出来：

平方差固定，但横坐标为正。

解：

$x^{2} - y^{2} = 4, x \geq 2$ 。反过来 $t = (x + y) /2 > 0$ ，且 $(x + y) (x - y) = 4$ ，可还原两式。

答案：

$x^{2} - y^{2} = 4, x \geq 2$ 。

五、容易错在哪

消元后得到整条双曲线时，不能遗漏原参数只覆盖一支的限制。

真题

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单位方向参数与长度

参数差只有在方向向量为单位向量时才等于实际距离。

完整讲解 · 例题 · 可练 2 题

一、是什么

先认识这些量

直线 $X = P + t v$ 要求 $v \neq = 0$ 。两参数点距离为 $∣ t_{1} - t_{2} ∣∣ v ∣$ ，单位方向向量的模为一。

为什么这样做

坐标差为参数差乘方向向量，取模就得到距离倍率。射线还须保留参数非负。

先看一道例题

例 1：非单位方向

$X = (1, 2) + t (3, 4)$ ，参数 $1, 3$ 对应两点相距多少？

怎么看出来：

方向长度为五。

解：

参数差 $2$ ，距离 $2 9 + 16 = 10$ 。两点为 $(4, 6), (10, 14)$ 可核。

答案：

$10$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
直线过定点，题目含定点到交点的长度、分点比或射线方向。	参数差只有在方向向量为单位向量时才等于实际距离。
$X = (1, 2) + t (3, 4)$ ，参数 $1, 3$ 对应两点相距多少？	方向长度为五。

三、怎么用

写基点与非零方向。
求方向向量的模。
需要长度参数时先单位化。
恢复长度并核直线或射线范围。

四、再做一道

例 2：单位化

将同一直线改写为以实际有向长度 $s$ 为参数的形式。

怎么看出来：

把三四方向除以五。

解：

$X = (1, 2) + s (3/5, 4/5)$ ，方向模为 $1$ ，原参数满足 $s = 5 t$ 。

答案：

$X = (1, 2) + s (3/5, 4/5)$ 。

五、容易错在哪

单位化只改变参数尺度，不应同时擅自改变射线参数的正负方向。

真题

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三角参数与范围可达

三角参数将曲线约束自动满足，但振幅取等仍受参数角域限制。

完整讲解 · 例题 · 可练 2 题

一、是什么

先认识这些量

半径 $r$ 的圆可写 $(r cos t, r sin t)$ 。线性目标的振幅由正余弦系数的平方和开根给出。

为什么这样做

全圆覆盖所有方向时可达到振幅；圆弧可能把等号方向排除，必须比较真实区间。

先看一道例题

例 1：全圆

$x^{2} + y^{2} = 4$ ，求 $3 x + 4 y$ 最大值。

怎么看出来：

可选任意方向。

解：

柯西给 $3 x + 4 y \leq 5 \cdot 2 = 10$ ，点 $(6/5, 8/5)$ 在圆上并取等。

答案：

$10$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
圆或椭圆上动点使线性式、距离或面积求极值，直接消元出现较多根式。	三角参数将曲线约束自动满足，但振幅取等仍受参数角域限制。
$x^{2} + y^{2} = 4$ ，求 $3 x + 4 y$ 最大值。	可选任意方向。

三、怎么用

写曲线参数并列允许角域。
整理为正余弦组合。
求振幅和候选角。
检查候选角，必要时比较端点。

四、再做一道

例 2：上半圆

$x^{2} + y^{2} = 1, y \geq 0$ ，求 $- y$ 最大值。

怎么看出来：

目标的全圆等号点被排除。

解：

因为 $y \geq 0$ ， $- y \leq 0$ ，在 $(\pm 1, 0)$ 取等；不能使用全圆最大值 $1$ 。

答案：

$0$ 。

五、容易错在哪

先求全圆振幅再忽略圆弧约束，会给不可达的极值。

真题

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极坐标与直角坐标互化

用横纵坐标与极径的关系转换方程，原点单独回验。

完整讲解 · 例题 · 可练 3 题

一、是什么

先认识这些量

约定极径 $ρ \geq 0$ ，有 $x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, ρ^{2} = x^{2} + y^{2}$ 。原点可用任意角表示，但须满足原方程。

为什么这样做

乘以极径可能把原来不满足方程的原点加进来；除以极径则可能删去原点，所以需双向核验。

先看一道例题

例 1：过原点的圆

极曲线 $ρ = 4 cos θ$ 的普通方程是什么？

怎么看出来：

同乘极径后配方。

解：

$x^{2} + y^{2} = 4 x$ ，即 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 。原点在原式取 $θ = π /2$ 可得，故应保留。

答案：

$(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
极方程包含半径平方、半径乘正弦余弦，或图形看起来是直线、圆。	用横纵坐标与极径的关系转换方程，原点单独回验。
极曲线 $ρ = 4 cos θ$ 的普通方程是什么？	同乘极径后配方。

三、怎么用

约定极径和角范围。
用坐标恒等式改写。
整理为普通方程。
核非零点的逆向表示，并单查原点。

四、再做一道

例 2：直线极式

$ρ cos θ = 2$ 的普通方程是什么？是否含原点？

怎么看出来：

左侧就是横坐标。

解：

直接得 $x = 2$ ，任何此直线点都非零，可取对应极坐标；原点不满足原式。

答案：

$x = 2$ ，不含原点。

五、容易错在哪

极坐标角并不唯一，逆向验证应找一种合法表示，不能只试某个固定角。

真题

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交点表示与角差距离

极曲线的公共点是同一平面点，不一定有同一个角度表示。

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一、是什么

先认识这些量

采用 $ρ \geq 0$ ，点为 $(ρ cos θ, ρ sin θ)$ 。非零点角度按整周等价；原点可以由不同角度生成。两极径为 $r, s$ 、角差为 $ϕ$ 时，距离平方为 $r^{2} + s^{2} - 2 rs cos ϕ$ 。

为什么这样做

同角联立可求非零交点，但可能遗漏两个曲线以不同角度到达的原点。转普通坐标是可靠的交叉检查。

先看一道例题

例 1：圆与极圆

求 $ρ = 2$ 与 $ρ = 4 cos θ$ 的公共点。

怎么看出来：

非零半径相等给余弦值。

解：

$cos θ = 1/2$ ，得坐标 $(1, \pm 3)$ 。原点不在第一圆上，无需加入。

答案：

$(1, \pm 3)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
比较两条极曲线的公共点，或用两点半径、极角关系求距离。	极曲线的公共点是同一平面点，不一定有同一个角度表示。
求 $ρ = 2$ 与 $ρ = 4 cos θ$ 的公共点。	非零半径相等给余弦值。

三、怎么用

核极径和角域。
求可共用表示的交点。
单查原点与不同圈数。
转坐标代回两曲线确认。

四、再做一道

例 2：不同角到原点

求 $ρ = 2 cos θ$ 与 $ρ = 2 sin θ$ 的公共点。

怎么看出来：

同角等式之外要查原点。

解：

普通方程为 $x^{2} + y^{2} = 2 x$ 与 $x^{2} + y^{2} = 2 y$ ，得 $x = y$ ，故为 $(0, 0), (1, 1)$ 。原点可分别取角 $π /2$ 与 $0$ 。

答案：

$(0, 0), (1, 1)$ 。

五、容易错在哪

不能因为两极式没有同一个零半径角，就认定原点不是公共点。

真题

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单参数曲线族、切线包络与受限极值

曲线族的边界候选要连同参数范围检验，重根条件本身不能证明实际扫掠区域。

完整讲解 · 例题 · 可练 0 题

一、是什么

先认识这些量

包络是与族中曲线相切的边界候选。对直线族 $y = t x - t^{2}$ ，固定点能被覆盖，等价于存在合法实参数 $t$ 满足二次方程。

为什么这样做

配方 $t x - t^{2} = x^{2} /4 - (t - x /2)^{2}$ 给所有可能高度；限制参数时，驻点可能不再可取，端点也会形成边界。

先看一道例题

例 1：整直线族

$t$ 遍历实数，直线 $y = t x - t^{2}$ 覆盖的区域是什么？

怎么看出来：

固定横坐标后求参数二次式值域。

解：

由配方有 $y \leq x^{2} /4$ ；反之任意此类点可取 $t = x /2 \pm x^{2} /4 - y$ ，所以区域恰为所述下方。

答案：

$y \leq x^{2} /4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
给出含单参数 $t \in I$ 的动直线族、动线段或受限参数曲线，求扫过的平面区域面积、切线包络线或受限区间上的极值。	曲线族的边界候选要连同参数范围检验，重根条件本身不能证明实际扫掠区域。
$t$ 遍历实数，直线 $y = t x - t^{2}$ 覆盖的区域是什么？	固定横坐标后求参数二次式值域。

三、怎么用

固定平面点并写存在参数条件。
列完整参数域。
用判别式或配方找边界候选。
反求合法参数，核端点与降次。

四、再做一道

例 2：受限参数

若只允许 $0 \leq t \leq 1$ ，在 $x = 1$ 的截线上可覆盖哪些纵坐标？

怎么看出来：

端点与内部驻点都要查。

解：

$y = t - t^{2}$ ，在闭区间上的最小为端点的 $0$ ，最大在 $t = 1/2$ 为 $1/4$ ；连续性给全部中间值。

答案：

$0 \leq y \leq 1/4$ 。

五、容易错在哪

动线段还需要分点参数限制，不能用整直线族的包络替代它的扫掠边界。

真题

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误区对照

容易误以为

已知参数曲线 $x = 3 + cos (t - π /3), y = 4 + cos (t + π /6)$ （ $t \in R$ ），误以为两个余弦项相位不同不是圆，或直接令 $cos (t - π /3) = cos (t + π /6) = 1$ 得 $x^{2} + y^{2}$ 最大值为 $4^{2} + 5^{2} = 41$ 。

应当这样想

注意到相位差 $(t + π /6) - (t - π /3) = π /2$ ，令 $φ = t - π /3$ ，则 $cos (t + π /6) = cos (φ + π /2) = - sin φ$ 。于是 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = cos^{2} φ + (- sin φ)^{2} = 1$ ，轨迹是圆心 $(3, 4)$ 、半径 $1$ 的整圆，到原点距离最大值为 $3^{2} + 4^{2} + 1 = 6$ ，故 $x^{2} + y^{2}$ 最大值为 $36$ （两个余弦项不可能同时取 $1$ ）。

为什么

当两个同频正余弦参数的相位差为 $π /2$ 的奇数倍时，必有平方和恒等于 $1$ ，轨迹为圆而非一般李萨如（Lissajous）曲线或椭圆。

容易误以为

过圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 内定点 $P_{0} (1, 0)$ 作倾角为 $α$ 的直线 $x = 1 + t cos α, y = t sin α$ 交圆于 $A, B$ 两点，求 $∣ P_{0} A ∣ + ∣ P_{0} B ∣$ 时直接写 $∣ P_{0} A ∣ + ∣ P_{0} B ∣ = ∣ t_{1} + t_{2} ∣ = 2∣ cos α ∣$ 。

应当这样想

代入圆方程得 $t^{2} + 2 t cos α - 3 = 0$ ，因常数项 $t_{1} t_{2} = - 3 < 0$ （ $P_{0}$ 在圆内， $A, B$ 分居 $P_{0}$ 两侧）， $t_{1}, t_{2}$ 异号，故 $∣ P_{0} A ∣ + ∣ P_{0} B ∣ = ∣ t_{1} ∣ + ∣ t_{2} ∣ = ∣ t_{1} - t_{2} ∣ = 4 cos^{2} α + 12 = 2 cos^{2} α + 3$ （恰为弦长 $∣ A B ∣$ ），而非 $∣ t_{1} + t_{2} ∣$ 。

为什么

单位参数 $t$ 是有向距离，两交点在 $P_{0}$ 同侧（ $t_{1} t_{2} \geq 0$ ）时 $∣ t_{1} ∣ + ∣ t_{2} ∣ = ∣ t_{1} + t_{2} ∣$ ；两交点分居 $P_{0}$ 两侧（ $t_{1} t_{2} < 0$ ）时 $∣ t_{1} ∣ + ∣ t_{2} ∣ = ∣ t_{1} - t_{2} ∣$ 。

容易误以为

在椭圆 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ 上取点 $P (3 cos t, 2 sin t)$ ，已知射线 $OP$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，直接代入 $t = \frac{π}{4}$ 得 $P (\frac{3}{2}, \frac{2}{2})$ 。

应当这样想

椭圆参数 $t$ 是离心角而非极角 $θ$ ！射线 $OP$ 倾角 $θ = \frac{π}{4}$ 意味着 $y = x > 0$ ，即 $2 sin t = 3 cos t ⟺ tan t = \frac{3}{2}$ （ $cos t = \frac{2}{13}, sin t = \frac{3}{13}$ ），正确坐标为 $P (\frac{6}{13}, \frac{6}{13})$ 。

为什么

椭圆 $(a cos t, b sin t)$ 由半径为 $a, b$ 的同心圆缩放所得，点的极角 $θ$ 与离心角 $t$ 满足 $tan θ = \frac{b}{a} tan t$ ，当 $a \neq = b$ 且不在坐标轴上时 $θ \neq = t$ 。

容易误以为

把极坐标方程 $ρ = 4 cos θ$ （规定 $ρ \geq 0$ ）化为直角坐标方程 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 时，因两边同乘了 $ρ$ ，误以为原点 $ρ = 0$ 是增根而把 $(0, 0)$ 挖去。

应当这样想

在原极方程 $ρ = 4 cos θ$ 中取 $θ = \frac{π}{2}$ ，即得 $ρ = 4 cos \frac{π}{2} = 0$ ，对应直角坐标原点 $(0, 0)$ ，故原点本来就在极曲线上，转化后的轨迹是包含原点的完整圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 。

为什么

同乘 $ρ$ 是否引入增根，取决于原方程 $ρ = f (θ)$ 是否存在某个允许角 $θ_{0}$ 使得 $f (θ_{0}) = 0$ ；若存在，则原点已在原曲线上，并非增根。

容易误以为

求极坐标曲线 $C_{1} : ρ = 2 cos θ$ 与 $C_{2} : ρ = 2 sin θ$ （ $ρ \geq 0, θ \in [0, 2 π)$ ）的交点个数时，直接联立 $2 cos θ = 2 sin θ$ 解得 $θ = \frac{π}{4}$ （ $θ = \frac{5 π}{4}$ 因 $ρ < 0$ 舍去），断言只有一个交点。

应当这样想

联立同角方程只能找出具有相同极坐标表示的非零交点 $(2, π /4)$ （直角坐标 $(1, 1)$ ）；而极点（原点）在 $C_{1}$ 上表示为 $(0, π /2)$ ，在 $C_{2}$ 上表示为 $(0, 0)$ ，虽然极角不同但代表同一个平面点 $(0, 0)$ ，故共有 $2$ 个交点 $(0, 0)$ 与 $(1, 1)$ 。

为什么

极点 $ρ = 0$ 的极角可以任意取值，两条极曲线分别在不同极角处经过极点时，直接联立 $f (θ) = g (θ)$ 无法捕捉该公共点，必须单独检验 $ρ = 0$ 是否同时在两条曲线上。

容易误以为

设 $t \in [0, 1]$ ，连接 $P (t, 0)$ 与 $Q (1, t)$ 的动线段扫过第一象限某区域，直线方程化为 $t^{2} - (x + y) t + y = 0$ 后，误以为第一象限内只要 $Δ = (x + y)^{2} - 4 y \geq 0$ 的点都在扫过区域内，漏看参数有界 $t \in [0, 1]$ 及线段横坐标限制 $t \leq x \leq 1$ 。

应当这样想

对固定 $x \in [0, 1)$ ，点 $(x, y)$ 落在线段 $PQ$ 上当且仅当存在 $t \in [0, x]$ 使 $y = \frac{t ( x - t )}{1 - t}$ 。该函数在 $t \in [0, x]$ 上连续，对 $t$ 求导得分子 $x - 2 t + t^{2} = 0$ ，唯一合法驻点为 $t^{*} = 1 - 1 - x \in [0, x]$ ，对应最大纵坐标 $y_{m a x} = (1 - 1 - x)^{2}$ （等价于包络抛物线弧 $1 - x + y = 1$ ，即 $(x + y)^{2} - 4 y = 0$ 且 $0 \leq x < 1, x + y \leq 2$ ）；当 $x = 1$ 时， $t = 1$ 对应端点 $P (1, 0)$ 与 $Q (1, 1)$ ，线段 $(x, y) = (t + s (1 - t), s t) (0 \leq s \leq 1)$ 即为整条竖直线段 $x = 1, 0 \leq y \leq 1$ （例如取 $s = 1/2$ 得中点 $(1, 1/2)$ ）。综上，完整扫掠区域为 $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq (1 - 1 - x)^{2}$ （即 $1 - x + y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ ）。若只看 $Δ = (x + y)^{2} - 4 y \geq 0$ ，则会把 $(2, 0)$ （ $Δ = 4 > 0$ ，但动线段恒有 $x \leq 1$ ）等区域外的点误收进来。

为什么

单参数动线段族扫过的区域同时受“参数有界 $t \in [0, 1]$ ”与“点在线段内部 $x \in [t, 1]$ ”双重约束；全实数判别式 $Δ \geq 0$ 只能给出无限延长直线族在全平面上的实根条件，必须结合参数区间及线段端点限制确定真实扫掠边界。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

1. 过定点

P_{0} (1, 0)

作倾斜角为

α

的直线

x = 1 + t cos α, y = t sin α

与圆

x^{2} + y^{2} = 4

交于

A, B

两点，则

∣ P_{0} A ∣ \cdot ∣ P_{0} B ∣

与

∣ P_{0} A ∣ + ∣ P_{0} B ∣

的值分别为：A.

3

与

2 cos^{2} α + 3

3

与

2∣ cos α ∣

- 3

与

2 cos^{2} α + 3

4

与

2∣ cos α ∣

参数方程与极坐标

从这里开始

知识要点

方法卡

消元与参数域反验

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：半条抛物线

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：双曲线分支

五、容易错在哪

单位方向参数与长度

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：非单位方向

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：单位化

五、容易错在哪

三角参数与范围可达

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：全圆

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：上半圆

五、容易错在哪

极坐标与直角坐标互化

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：过原点的圆

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：直线极式

五、容易错在哪

交点表示与角差距离

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：圆与极圆

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：不同角到原点

五、容易错在哪

单参数曲线族、切线包络与受限极值

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：整直线族

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：受限参数

五、容易错在哪

误区对照

概念自测

真题 · 10 道

F1 5 题

F2 2 题

F3 3 题