2026 年甘肃预赛

思路

抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离。两点到同一点等距是该点位于垂直平分线上的充要条件；当 $s^2+t^2$ 固定时，$(s-t{)}^2=s^2+t^2-2st$ 可用于降元。

想法从哪来：焦半径看似带根式，抛物线定义却把它直接变成到准线的水平距离。三个距离成等差数列，因此先得到两动点横坐标之和固定。此时用标准抛物线参数，约束就成了两个参数平方和固定，比继续保留横纵坐标更整齐。 垂直平分线过定点，等价于某定点到两动点距离相等。利用图形对称，先试轴上的点，距离平方之差会含参数平方差，剩余因子可以由平方和条件消掉。面积也由行列式展开，再用平方和固定把参数差改成参数积的函数。求最值后需重新找两个实参数，确认它们不同并能实现驻点。

利用抛物线定义把焦半径改写为横坐标，可立即得到两动点横坐标之和。 再用标准参数表示两点，先通过到某个固定点的距离相等确定 $Q$， 然后把面积化为参数乘积的一元函数。