2024 年上海预赛

解答

方程等价于 $z^n(z-\sqrt{2})=1$。由 $|z|=1$ 得 $|z-\sqrt{2}|=1$，所以

非实根为 $z=e^{\pm i\pi /4}$。取 $z=e^{i\pi /4}$，有 $z-\sqrt{2}=e^{3i\pi /4}$，故

共轭根给出同一条件，所以最小正整数为 $\boxed{5}$。