2012 年中科大少年班初试 · 第 10 题

解答

设 $t_i=(10-x_i)/16\in [0,1]$，则 $\sum t_i=25/8$，且 $\sum x_i^2=256\sum t_i^2$。若有两个内点 $u\le v$，将它们改为 $u-\delta ,v+\delta$，其中 $\delta =\min (u,1-v)>0$，保持总和且使平方和增加 $2\delta (v-u)+2{\delta }^2>0$。所以任何最大点至多有一个内点。总和为 $3+1/8$，迫使恰有三个一、一个八分之一，其余为零。对应的原变量是三个 $-6$、一个八和六个十。因此选 $\boxed{\mathrm{C}}$。