2018 年河北预赛 · 第 3 题

解答

取以 $A$ 为圆心、半径一及以 $B$ 为圆心、半径三的两圆。所求直线正是它们的公切线。圆心距 $d=\sqrt{(m-2{)}^2+4}\ge 2$。当 $d=2$ 时内切，只有一条公切线；$2<d<4$ 时有两条；$d=4$ 时外切，有两条外公切线和一条内公切线，共三条；$d>4$ 时有四条。因此必须且只需 $d=4$，解得 $\boxed{m\in \{2-2\sqrt{3},2+2\sqrt{3}\}}$。