2024 年上海预赛

思路

直径圆条件也包含P=B或P=C的退化直角端点；模长和是凸函数，由三角不等式可证弦内函数值不超过端点较大值。

想法从哪来：点积为零先画直径圆：固定C时，P的可行集已经完全确定，最远距离就是圆心到原点的距离加半径。这样先消掉一个动点，把双动点优化降成C的单点优化。新的目标是C到两个定点距离之和；沿任何穿过内部点的弦，这个和都是凸函数，所以最大值可推到椭圆边界，而不是随意假定动点一定在边上。边界用椭圆参数表示后，两段距离平方中只有一次项符号相反，应先平方和、保留乘积再估计，才能利用对称抵消。最后从达到边界等号的C出发，取直径圆的最远点，验证两层极值可以同时达到。

固定 $C$ 时，点 $P$ 在以 $BC$ 为直径的圆上；先求该圆上到原点的最远距离，再对椭圆内的 $C$ 优化。