2012 年黑龙江预赛 · 第 18 题

解答

(1) 两个垂足均在以 $PQ$ 为直径的圆上，因此 $Q,H,K,P$ 共圆（垂足恰为端点时仍属于该圆）。(2) 取 $P=(0,0)$、$S=(s,0)$、$R=(s,r)$，其中 $s>0,r\ne 0$。因为 $PR$ 是外接圆的直径，设 $Q=(u,v)$，有 $u^2+v^2=su+rv$。令 $D=s^2+r^2$，则 $K=(u,0)$、$H=\frac{su+rv}{D}(s,r)$。设 $W=((u+s)/2,v/2)$ 是 $QS$ 中点。直接展开有

所以 $W$ 在 $HK$ 上，亦在 $QS$ 上，故 $W=T$，即 $\boxed{QT=TS}$。