2012 年湖南预赛 · 第 16 题

F3解答题数列的性质

设 ${a_{n}}$ 是正项递增的等差数列，求证：

(1)
对任意的 $k, l \in N^{*}$ ，当 $l > k \geq 2$ 时， $\frac{a _{l + 1}}{a _{k + 1}} < \frac{a _{l}}{a _{k}} < \frac{a _{l - 1}}{a _{k - 1}}$ ；
(2)
对任意的 $k \in N^{*}$ ，当 $k \geq 2$ 时，
$k \frac{a _{2013 k + 1}}{a _{k + 1}} < \frac{a _{k + 2}}{a _{k + 1}} \cdot \frac{a _{2 k + 2}}{a _{2 k + 1}} \cdot \frac{a _{3 k + 2}}{a _{3 k + 1}} \dots \frac{a _{2012 k + 2}}{a _{2012 k + 1}} < k \frac{a _{2012 k + 2}}{a _{2}} .$

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F3（会透露解法方向）

需自行引入相邻项比值并按k项分组，使上下两侧分别连乘约消，核心独立判断是两组下标窗口。

用到的方法（会透露解法方向）