2026 年北京预赛

思路

只用立方差恒等式、单调性和调和和分组；“增量约为”只是发现路线，正式证明中不把相邻项当作相等。

想法从哪来：先看递推的增量，而不是直接寻找远项通项。 增量约为 $1/a_n^2$；若把 $a_n$ 换成三次幂，立方差中约有 $3a_n^2$，恰能抵消这个分母。因此先试 $a_{k+1}^3-a_k^3$，得到接近常数的增量。 确定整数部分只需夹在相邻整数之间，无需精确渐近公式。下界用单调性直接估；上界保留可累加的误差，再把调和和按长度翻倍的区间分组。数值迭代可帮助定位应夹的两个整数，但最后必须用严格立方界确认。

递推增量约为 $a_n^{-2}$，因此立方 $a_n^3$ 应近似按常数速度增长。只作数值迭代不能证明整数部分； 下面分别给出无需小数近似的立方下界和可求和上界。