2012 年河北预赛（高三卷） · 第 14 题

解答

记 $N=3n^2+n+1$。它总是大于等于五的奇数，因为 $n(3n+1)$ 为偶数。若数码和为一，$N$ 必为十的幂，而大于一的十幂为偶数，矛盾。 若数码和为二，奇数 $N\ge 5$ 只能形如 $10^s+1$（$s\ge 1$）。于是

两个因子互素，且后者更大，故较小的 $n$ 只能为一或 $2^s$。$n=1$ 会要求 $4=10^s$；$n=2^s$ 会要求 $5^s=3\cdot 2^s+1$。后式在 $s=1$ 不成立；当 $s\ge 2$，有 $5^s/2^s\ge 25/4$，故 $5^s-3\cdot 2^s\ge (13/4)2^s\ge 13>1$，仍不成立。所以 $f(n)\ge 3$。取 $n=8$，$N=201$，数码和为三，故 $\boxed{\min f(n)=3}$。 当 $n=2\cdot 10^k-1$ 时，

其数码依次为两个一、$k-1$ 个九、$k$ 个零和末位三。因此

令 $k=224$，便有 $9k-4=2012$，所以 $\boxed{\text{存在，例如 }n=2\cdot 10^{224}-1}$.