2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 3 题

解答

$f^{\prime }(x)=1-100/x^2$，故f在 $(0,10]$ 递减，在 $[10,+\infty )$ 递增，$f(10)=20$。不论a在10哪侧，两个最小值的乘积都等于 $20f(a)$，包括a=10。于是 $a+100/a=101$，即 $(a-1)(a-100)=0$。两个根均正，故 $\boxed{a=1\text{或}100}$。