2014 年河北预赛 · 第 9 题

解答

设 $A=t$，则 $C=2t,B=\pi -3t$，其中 $0<t<\pi /3$。正弦定理给

令 $u=\cos t>1/2$，解得 $u=1/\sqrt{2}$；另一根为负不合范围。因此 $A=B=45^{\circ },C=90^{\circ }$，从而

取 $C=(0,0),A=(1,0),B=(0,1)$。因 $PB=PC$，点 $P$ 的纵坐标为 $1/2$；又 $PA=1$，得

三角形内部条件选择 $P=(1-\sqrt{3}/2,1/2)$。向量 $AP=(-\sqrt{3}/2,1/2)$ 与 $AB=(-1,1)$ 的点积给出

因所求为三角形内的夹角，故