2026 年培玉原创改编高中数学竞赛 · 第 5 题

解答

1. 利用定点导数自洽性求出 $f^{\prime }(1)$： 记常数 $c=f^{\prime }(1)$，$b=f(0)$，则函数表达式为

对 $x$ 求导（注意 $c,b$ 均为常数），得

将 $x=1$ 代入导函数，建立关于 $c$ 的自洽方程：

故 $f^{\prime }(x)=3x^2-2$，特别地，在 $x=0$ 处的导数值为 $f^{\prime }(0)=-2$。

2. 利用切线过定点条件求出 $f(0)$： 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))=(0,b)$ 处的切线斜率为 $k=f^{\prime }(0)=-2$，故切线方程为

由切线经过点 $(2,-5)$，代入得

因此 $f(x)=x^3-2x-1$，从而 $f(1)=1^3-2\times 1-1=-2$。

3. 利用商的求导法则计算 $g^{\prime }(1)$： 对 $g(x)=\frac{f(x)}{x+1}(x\ne -1)$，在 $x=1$ 处分母 $x+1=2\ne 0$，由商的求导法则得