培玉 · 一试
2010 年黑龙江预赛 · 第 20 题
F3解答题平面几何综合
（12分）如图， 内接于 ，，直线 切 于点 ，弦 ， 与 相交于点 。
- (1)
求证：；
- (2)
若 ，求 。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
弦平行切线，圆心到切线的半径便是弦的中垂线，因此BC=CD。
思路
结合原等腰边得到角和三角形全等，长度问题再用相等弦的中点投影处理。
解答
因为 、，所以OC为弦BD的垂直平分线，得到BC=CD。等弦对等圆周角，故 。又E在AC、BD上，；同弦AD对圆周角给 。结合AB=AC，以角边角得
从而BE=CD=BC=4。设T为CE中点，因BE=BC，BT⊥CE。在ABC中，
按图E在AC内部，故 ，CE=8/3，于是
复核
全等用的两角分别对应A与A、B与C，边AB对应AC。求得AE=AD=10/3<AC=6，BE=BC=CD=4，符合交点位置；圆与直线的两个交点E、C分处投影点T两侧。
方法总结
平行于切线的弦先看半径中垂线，可得到相等弦；全等后出现两个等距点，在线段中点作垂线通常能直接求分段。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
平行切线的弦先借半径中垂线得到等弦，再用圆周角证明全等；长度部分由两个等距点的中点投影求分段。
已记下，谢谢！